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次の微分方程式を解きy=f(x)の形で答えよ。
(1) y‘=-y/x
(2)y’=y/x+y^2/x ^2
(3)y‘=x-y/x
解き方が分からないので教えてください

A 回答 (2件)

(1)は実際に微分方程式に当てはめてみればよいです


y=D/x なら
右辺=y'=(D/x)'=-D/x²
左辺=-y/x=-(D/x)÷x=-D/x²
したがって y=D/xという表現でも可能なはず
(CもDも任意定数なので
例えば、y=-2/xを表すのは C=2,D=-2のとき
y=3/xは C=-3,D=3であらわすことができるのです
つまり任意のC,Dを用いているので -C=Dが成り立っているということです)



(3)まず、y=x/2はこの微分方程式の解である

y'=1-(y/x)
z=y/xとおく
y=zx
dy/dx=(dz/dx)x+z
より
1-z=(dz/dx)x+z
1-2z=(dz/dx)x
dz/(1-2z)=dx/x
1-2z≠0 すなわちy≠(1/2)xの場合
∫dz/(1-2z)=∫dx/x
log|1-2z|=log|x|+c
log|(1-2z)/x|=c
|(1-2z)/x|=e^c
2z-1=±e^c・x
z=(1±e^c・x)/2=y/x
y=x(1±e^c・x)/2
±e^cをD(任意)におきかえれば
y=(1/2)Dx²+(1/2)x
これはy=x/2 の場合とy≠x/2の場合のいずれも表している
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(1)y=0のとき


y'=-0/x=0だから
y=0は解である
y≠0では
(1/y)(dy/dx)=(-1/x)
両辺xで微分
∫(1/y)(dy/dx)dx=∫(-1/x)dx
左辺=∫(1/y)dy=log|y|
右辺=-log|x|
∴log|y|=-log|x|+C
従って、|xy|=e^c
y=±e^c/x
±e^cは0以外のすべての実数となり得るから
y=0の解と統合して
y=D/x (Dは任意定数)

(2)y/x=zとおくと
y=zxだから
dy/dx=(dz/dx)x+z
またもとの式を単純にzで置き換えると
dy/dx=z+z²
ゆえに
(dz/dx)x+z=z+z²
⇔dz/z²=dx/x
∫dz/z²=∫dx/x
-1/z=log|x|+c
-x/y=log|x|+c
y=-x/(log|x|+c)

(3)は右辺分子がx-yなのか-yなのかはっきりしない
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この回答へのお礼

(1)の答えは-C/xとあり答えが違うのですが...
(3)はx-yです

お礼日時:2020/01/20 14:53

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