複素関数 ベキ級数

写真の下で囲った17番の問題を解いて欲しいです
収束半径を求める問題なのですが、ほかの問題のようにΣの形になってなくてどうやってΣの形で表せるのかわかりません。答えは1/3になります

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/01/25 20:49

＞Σの形になってなくてどうやってΣの形で表せるのかわかりません。

それが、級数をΣを使わずに「…」で書くことの問題点です。
自分で式を立てるときは、極力ちゃんとΣを使って、他人に伝わらない
書き方をしないように気をつけましょう。

質問の17.の収束半径を求めるには、
(3^2)x^2 + z^3 + (3^4)z^4 + z^5 + (3^6)z^6 + z^7 + ...
= Σ[k=1→∞](3z)^(2k) + Σ[k=1→∞]z^(2k+1)
とでも整理して、
右辺左の等比級数の収束条件が |(3z)^2| < 1 すなわち |z| < 1/3,
右辺右の等比級数の収束条件が |z^2| < 1 すなわち |z| < 1
であることから左辺の級数の収束半径は 1/3
と答えればよいのですが、そのカラクリには少し説明が必要です。

z の冪級数には、実定数 r がひとつ対応して、|z| < r なら級数は収束
|z| > r なら級数は発散します。この r が冪級数の収束半径です。　　←[1]

|z| < 1/3 であれば右辺のふたつの級数がどちらも収束します。
それだけでは、ただちに左辺の級数が収束するとは言えないのですが、
右辺の級数は冪級数であるため、収束円の内部では収束が絶対収束です。
絶対収束する級数はΣするときに項の並び順を変えても収束性が変わらない
ため、右辺のΣが両方収束するならば左辺のΣも収束すると言えるのです。

1/3 < |z| < 1 であれば、右辺左のΣは収束し、右辺右のΣは発散します。
これで左辺のΣが収束してしまうと、移項して (左辺のΣ) - (右辺左のΣ) = (右辺右のΣ)
から右辺左のΣが収束しなくてはいけないことになり、矛盾します。
よって、左辺のΣは 1/3 < |z| < 1 では発散です。
左辺は冪級数ですから、収束/発散の条件は[1]のようになっており、
上記の収束/発散と話が合うためには収束半径は 1/3 でなければなりません。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/01/25 11:23

Σ{n=1～∞}(3z)^(2n)+z^(2n+1)

=Σ{n=1～∞}(3z)^(2n)+Σ{n=1～∞}z^(2n+1)

Σ{n=1～∞}(3z)^(2n)
の公比
9z^2<1
の時収束するから
z^2<1/9
|z|<1/3
収束半径は1/3