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f(x)=のある式をフーリエ変換します。
その後、元のf(x)の式を導きたいのですが、
画像の一番上のf(x)を代入したフーリエ変換の式を一番下のフーリエ逆変換のF(ω)に代入してf(x)とすると思いますが、
f(x)=1/2π∮{∮f(x)e^-iωx dt}e^iωx dωと導けます。この式からf(x)を求められるのでしょうか?
どうかよろしくお願いします。

「f(x)=のある式をフーリエ変換します。」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • どうか逆フーリエ変換のやり方を具体例を踏まえてやり方を教えて下さい。
    右辺のf(x)にf(x)の式を代入して
    左辺のf(x)=とすれば導けるのでしょうか?

      補足日時:2020/02/01 05:28

A 回答 (2件)

1、はじめに、質問文の間違いを訂正しておきます。


× f(x)=(1/2π)∮{∮f(x)e^-iωx dt}e^iωx dω_(1)
〇 f(x)=(1/2π)∮{∮f(t)e^-iωt dt}e^iωx dω_(2)
式(1)の括弧{}の中にxという文字が2個あるが、これは式(2)のようにtに変えなければなりません。
2、積分記号∮に付いている〇の記号は積分の経路を一周するという意味なので、
-∞から+∞の積分路は、経路一周のような気分が薄いので、一般にはあまり通用しません。しかし簡略で便利なので、ここでは、敢えて変えないでおきます。
3、式(2)は有限区間をフーリエ級数に展開する理論を、無限区間に拡張して作った理論で、途中に仮定があり、f(x)により、成立しない場合が多い。まず、成立する場合の例を示すと、
f(x)=e^(-αx²)_(3) はフーリエ変換F(ω)を直接計算できる例です。
F(ω) =∫(t=-∞~+∞) e^(-αt²)(e^-iωt)dt
=∫(t=-∞~+∞) e^(-α(t+iω/2α)²e^(-ω²/4α)dt
= e^(-ω²/4α)∫(x=-∞~+∞) e^(-α(t+iν/2α)²dt_(4)
ここで公式
∫(t=-∞~+∞) e^(-α(t+iν/2α)²dt
=∫(y=-∞~+∞) e^(-αy²)d y=√(π/α)_(5)
を使うと、
F(ω) =√(π/α) e^(-ω²/4α)_(6)
となる。f(x)=e^(-αx²)は、x→∞でも、x→-∞でも、f(x)は急激にf(x)→0となるので、極限への収束性がよい。ほかにf(x)=e^(-αx²)cos x、e^(-αx²)sin x などは容易にできる例である。
4、ところが、f(x)=1はフーリエ変換ができない。f(x)=xもできない。
f(x)=x^nもできない。例えば、f(x)=1のとき、
F(ω) =∫(t=-∞~+∞)(1)(e^-iωt)dt_(7) であるが、ω=0とすると
F(0) =∫(t=-∞~+∞)(1)(e^0)dt=∫(t=-∞~+∞)(1)dt=∞となる。
ほかのωの値でも常に式(7)の無限積分が収束しないので、F(ω)は存在しない。
5、しかし、f(x)=1のフーリエ変換はF(ω) =2πδ(ω)であるとする理論がある。
δ(ω)をデルタ関数という。δ(x)はディラックのデルタ関数という。δ(x)は普通の関数ではないので、超関数(ちょうかんすう、英語ではファンクショナルfunctional)と名付けて、これを使ってもいいように数学の規則を変えてしまうのである。デルタ関数δ(x)を普通の関数のように想像して図のグラフにする。
原点の近くに、縦長の二等辺三角形があり、頂点の座標は(0、K)とし、
底辺は区間(-1/K,1/K)とする。
この三角形の面積は底辺×高さ÷2=2/K×K/2=1で、三角形部分の積分は1になり、三角形以外の部分は0となる。K→∞の極限を考えると、三角形は幅が無限小、高さは無限大となる。このようなグラフがδ(x)であると想像すればよい。δ(x)は積分した時、特別な操作規則をする記号として使われる。その規則とは、
ある関数g(x)にδ(x)をかけて区間(a,b)で積分したものをAとすると、
A=∫(x=a~b) g(x)δ(x)dxであるが、もし区間(a,b)がx=0を含めば、
A=g(0)とし、もし区間(a,b)がx=0を含まなければ、A=0とする。
f(x)=1のフーリエ変換のF(ω) =2πδ(ω)を逆フーリエ変換すると
f(x)=(1/2π)∫(ω=-∞~+∞) F(ω)(e^iωx)dω
=(1/2π)∫(ω=-∞~+∞) 2πδ(ω) (e^iωx)dω
=(ω=-∞~+∞)δ(ω)(e^iωx)dωとなる。ここでδ(x)の特別規則を使うと
この積分はデルタ関数の積分範囲にω=0を含むので、f(x)=(e^i0x)=1となる。逆変換でもとに戻るので、F(ω)が正しいフーリエ変換であることの証明になる。
6、次に、2πδ(ω)は、普通の数学規則では微分不可能であるが、超関数の特別ルールで、認めることにして、微分してiを掛けると2πiδ'(ν)となる。これはf(x)=xのフーリエ変換となる。逆フーリエ変換するときは部分積分の公式を使うと、もとに戻ることがわかる。f(x)=x^n等の結果はウィキペディアのフーリエ変換の項に書いてある。
7、超関数を使うとフーリエ変換できるf(x)と、超関数を使ってもフーリエ変換できないf(x)があって、と
「f(x)=のある式をフーリエ変換します。」の回答画像2
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>画像の一番上のf(x)を代入したフーリエ変換の式を一番下のフーリエ逆変換のF(ω)に代入してf(x)とすると思いますが、


f(x)=1/2π∮{∮f(x)e^-iωx dt}e^iωx dωと導けます

導けません。あなたの式はでたらめです。
内側のカッコの中がでたらめなのです。変数に注意してもう一度考え直してください。

なお、あなたが求めることはこくな言い方ですがあなたの数学力では理解不能です。
デルタ関数、もしくは変数を複素数に拡張したうえでの積分を利用する必要があります。今までのあなたの質問を見るにこれらの前段階すら習得していないためあなたには理解不可能でしょう。
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