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フーリエ変換できない式ってどんな式がありますか?なぜフーリエ変換出来ないのでしょうか?
また、どうしたらフーリエ変換出来る式に出来るでしょうか?

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A 回答 (3件)

照明になる。

は変換ミスで、証明に訂正する。
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1、f(x)=1のフーリエ変換はできません。


f(x)=x^nも(nは整数、たとえば1,2,-1)できません。f(x)のフーリエ変換F(ν)の定義式を、(定義式はν=2πξとするなど、いろいろ異なるものがある。)
F(ν)=∫(x=-∞~+∞)f(x)(e^-iνx)dx とすると、
F(ν)を計算するには、(x=-∞~+∞)の無限区間の積分が必要です。
たとえば、f(x)=1のとき、F(ν)=∫(x=-∞~+∞)(e^(-iνx))dx です。
無限区間の積分をするには、(e^(-iνx))の不定積分は[-(i/ν)(e^iνx]だから、
まず、有限区間(x=-K~+K)の積分を計算して、(Kは有限の未知変数)
F(ν)=[-(i/ν)(e^iνx](x=-K~+K)
=-(i/ν)((e^iνK)-(e^-iνK))=(2/ν)sin(νK)
ここでlim(K→∞)の極限をとればフーリエ変換F(ν)となるはずなので、
F(ν)=2πδ(ν)=lim(K→∞)(2/ν)sin(νK)となるが、この式は、
ν=0のときは、式の中に0で割る割り算があって、計算ができない。
ν=0とする代わりに、lim(ν→0) (2/ν)sin(νK)の極限を考えると、
F(ν)≒2Kとなるが、lim(K→∞)の極限をとればF(0)は∞になってしまう。
∞は普通の数学のルールに従う数ではないので、F(ν)は求められない。
またν≠0のときは、式の中のsin(νK)はKが変わると変動する式で、K→∞のとき、
一定の値に収束しないので、極限値が決められないので、フーリエ変換F(ν)は存在しない。
f(x)=x^2も、同じようにやってみると、同じように極限値が決められない問題が生じるので、フーリエ変換は求められない。
2、フーリエ変換ができるのはどんな例があるか。
f(x)=1、x、x^2、1/x など、日常的に出て来る関数が、フーリエ変換できないものが多いが、フーリエ変換できる関数にはどんな例があるでしょうか。
f(x)=e^(-αx²)はフーリエ変換F(ν)を直接計算できる例です。
F(ν) =∫(x=-∞~+∞) e^(-αx²)(e^-iνx)dx
=∫(x=-∞~+∞) e^(-α(x+iν/2α)²e^(-ν²/4α)dx
= e^(-ν²/4α)∫(x=-∞~+∞) e^(-α(x+iν/2α)²dx
ここで公式
∫(x=-∞~+∞) e^(-α(x+iν/2α)²dx
=∫(y=-∞~+∞) e^(-αy²)d y=√(π/α)
を使うと、
F(ν) =√(π/α) e^(-ν²/4α)
となる。f(x)=e^(-αx²)は、x→∞でも、x→-∞でも、f(x)は急激にf(x)→0となるので、極限への収束性がよい。ほかにf(x)=e^(-αx²)cos x、e^(-αx²)sin x などは容易にできる。
3、どうしたらフーリエ変換出来る式に出来るでしょうか?
フーリエ変換できない関数に何かの作用を加えて、変換出来る式に変えることはできないが、上記した、f(x)=1のフーリエ変換の2πδ(ν)を、そのまま認めるように、数学の規則を変えてしまうことが行われている。δ(ν)は普通の数学の規則に従う関数ではないので、「超関数」と名付け、特別な操作規則に従う記号として扱う。δ(ν)はディラックのデルタ関数と言われる。δ(ν)の特別な操作とは、ある関数g(x)に区間にδ(x)をかけて区間(a,b)で積分したものをAとすると、A=∫(x=a~b) g(x)δ(x)dxであるが、もし区間(a,b)がx=0を含めば、A=g(0)とし、もし区間(a,b)がx=0を含まなければ、A=0とする。この特別規則で、δ(x)を普通の関数のように想像して添付図のグラフにする。
原点の近くに、縦長の二等辺三角形があり、頂点の座標は(0、K)とし、底辺は区間(-1/K,1/K)とする。
この三角形の面積は底辺×高さ÷2=2/K×K/2=1で、三角形部分の積分は1になり、三角形以外の部分は0となる。K→∞の極限を考えると、三角形は幅が無限小、高さは無限大となる。このようなグラフが
δ(x)であると想像すればよい。f(x)=1のフーリエ変換のF(ν) =2πδ(ν)を逆フーリエ変換すると
f(x)=(1/2π)∫(ν=-∞~+∞) F(ν)(e^iνx)dν
  =(1/2π)∫(ν=-∞~+∞) 2πδ(ν) (e^iνx)dν
この積分はデルタ関数の積分範囲にν=0を含むので、f(x)=1となる。逆変換でもとに戻るので、F(ν)が正しいフーリエ変換であることの照明になる。
次に、2πδ(ν)は、普通の数学規則では微分不可能であるが、超関数の特別ルールで、認めることにして、iを掛けると2πiδ'(ν)となる。これはf(x)=xのフーリエ変換となる。逆フーリエ変換するときは部分積分の公式を使うと、もとに戻ることがわかる。f(x)=x^n等の結果はウィキペディアのフーリエ変換の項に書いてある。詳しいことは、専門書を見る。
「フーリエ変換できない式ってどんな式があり」の回答画像2
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y=ax+b



a,bを定数とする。sin波がないからねぇ。違うのかな?
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