A=(2x-y , -y z^(2), -y^(2) z )とし、 S={(x,y,z);x^2+y

A=(2x-y , -y z^(2), -y^(2) z )とし、
S={(x,y,z);x^2+y^2+z^2=1, z≧0}とする。CをSの境界としたとき、AのCに沿った線積分をストークスの定理を用いて求めましょう。

という問題がわかりません。rotA=(0,0,1)までは出ました。問題は、法線ベクトルがわからないため、A・nがわからないことです。

この場合、A・nはどのようにしたら求まるのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/02/03 17:41

1.

<r>=<x,y,z>, r=|<x,y,z>|=√(x²+y²+z²)とする。
S面の法線ベクトル N=<x,y,z> であるが、r=1 なので、単位法線ベクトルは n=<x,y,z>
となる。

ストークスの定理から
I=∫[C]A・dℓ=∫[S] rot A・ndS=∫[S]<0,0,1>・<x,y,z>dS=∫[S] zdS
S面のxy面の射影領域をRとすると、
I=∫[S] zdS=∫[R] zdxdy/|n・ez|

ezをz方向の単位ベクトルとすると、z>0 なので、 |n・ez|=z だから
I=∫[R] zdxdy/|n・ez|=∫[R] dxdy=π (半径1の円の面積)

2.
xy平面で極座標を取ると r=1 , z=0 なので
A=<2x-y, 0, 0>=<2cosθ-sinθ, 0, 0>、dℓ=<-sinθdθ, cosθdθ, 0>　だから
I=∫[C]A・dℓ=∫[θ=0→2π] (2cosθ-sinθ)(-sinθdθ)=∫[θ=0→2π] (-sin2θ+sin²θ)dθ
=∫[θ=0→2π] (1/2) dθ=π

この回答へのお礼

皆さん回答ありがとうございました！

お礼日時：2020/02/04 23:09

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2020/02/03 17:22

原点を中心とした半径1の球面の法線ベクトルはその点の座標値を成分とするベクトル、つまり原点に対する位置ベクトルに他ならない。

一般に球面の法線は中心に対する対象となる点の位置ベクトルをその大きさで割ったものになります。
しかし、この計算は少しばかり面倒。

もっと簡単に計算できたりする。質問者が出したrotAとCの経路さえ分かれば暗算で1秒で答えが出る。
ストークスの定理を適用する曲面としてSではない別の曲面を使えばよい。境界Cさえ共通であれば何でもよいのでそれこそ平面にしてしまっても問題ない。
とある面をとれば求める値はその面の面積となることがすぐにわかるはずだ。