離散コサイン変換に関して、なぜ画像の式の分子は(2l+1)なのでしょうか？ また、離散コサイン変換の

離散コサイン変換に関して、なぜ画像の式の分子は(2l+1)なのでしょうか？
また、離散コサイン変換の公式を導くまでの証明などが書いてあるサイトや本はないでしょうか？

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2020/02/11 01:30

なぜ画像の式の分子は(2l+1)なのでしょうか？＞

この文は、質問の内容を十分に表現していないので、あなたが疑問とする所を想像して答える。
１、離散コサイン変換にはDCTIからDCTⅧまで８種類ある。そのうち、DCTIIは、画像の式で、分子は(2l+1)となる。DCTIでは2lになり、2を約分すればlとなる。他の種類は、また別の式になる。
だから、「この式はDCTIIだから、分子は(2l+1)になる。」というのが突き放した答えである。
２、DCTIIはjpegにも使われ、よく使われるので、単にDCT(discrete cosine transform)ともいう。
DCTIIがどのように作られたかを図１～図４で見る。
図１で、x座標x₀，x₁，x₂，x₃，x₄に対して、波形の高さf(x)＝f₀，f₁，f₂，f₃，f₄がある時、波形を周波数分析するため、フーリエ展開すると、f(x)はcos kxとsin kxのフーリエ級数になる。
f(x)＝a₀+a₁cos x+b₁sin x+a₂cos2x+b₂sin2x+･･･
図２、波形の高さf(x)＝f₀，f₁，f₂，f₃，f₄を逆順に並べ替えて、右側に接続するとx座標の範囲はx₀からx₉なり、波形はこの範囲で左右対称になる。左右対称の波形をフーリエ級数に展開すると、sin kxのフーリエ係数bｋは０になるので、f(x)はcos kxのみのフーリエ級数になる。sin kxを使わないで済むので便利である。
これが離散コサイン変換である。この変換式の範囲のx=x₀～x₉は周期２πである。
その半分のx＝x₀～x₄の範囲の幅はπである。
図３、x₀＝０を原点として、x＝x₀～x₄の範囲で離散コサイン変換すると、フーリエ級数は
f(x)＝c₀+ c₁cosx+ c₂cos2x+ c₃cos3x+･･･
となる。x＝x₀～x₄の範囲はx＝0～πである。x座標をさらに詳しくして、xの範囲をx＝x₀～xNとすると、xN＝πとなる。この範囲をN等分した点を縦線で示した。
N等分した範囲の幅はπ/Nである。これを分割範囲と呼ぶことにする。
x＝x₀～xNの縦線の位置のx座標は、xl＝(π/N)×lである。フーリエ級数は
f(xl)＝f l＝c₀+ c₁cos(π/N)l + c₂cos2(π/N)l + c₃cos3(π/N)l +･･･
となる。
図4、図３と図４の違いは、図３ではx＝x₀～xN の位置は、この範囲をN等分した縦線の位置にあるので分割範囲の左端にあるのに対して、図４では、分割範囲の中央の位置に移動したことである。
分割範囲の中央の位置のxlとf l＝f(xl)を使って、離散コサイン変換する方が、波形の近似精度がよいと考えられる。番号lが1/2だけ増加したのと同じ計算になり
xl＝(π/N)×(l+1/2)となるから、フーリエ級数は
f(xl)＝c₀+c₁cos{(π/N)(l+1/2)}+c₂cos{2(π/N)(l+1/2)}
　　　　　　+c₃cos{3(π/N)(l+1/2)}+･･･
　　＝c₀+Σ(k=1～N－1)cｋcos{ (kπ/N) (l+1/2) }
　　＝c₀+Σ(k=1～N－1)cｋcos{ (kπ/2N)(2l+1) }
となる。この式が逆コサイン変換である。この式の両辺にcos{ (ｎπ/2N)(2l+1) }をかけてlについて和をとると、コサイン変換の式が得られる。n≠ kの項は消えて、n=kの項が残り、
Fｋ＝Σ(k=1～N－1) f l cos{ (kπ/2N)(2l+1) }
c₀＝F₀/N、cｋ＝2Fｋ/N (k=1～N－1)
が得られる。こうしてDCTIIのコサイン変換とDCTIIIの逆コサイン変換が得られる。