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絶対値を簡単にする問題が全く理解できません。
Q=||x|-1|
(x≧1)のとき、x-1
(0≦x<1)のとき、-x+1
(-1≦x<0)のとき、x+1
(x<-1)のとき、-x-1

となるらしいのですが、何が起きているのか全く理解できません。

A 回答 (3件)

面倒臭がらずに、内側から順に絶対値記号を解消してゆく。


式から絶対値記号を消すために使う道具は、場合分け
 x ≧ 0 のとき |x| = x,
 x ≦ 0 のとき |x| = -x.
に限られる。

まず、xy平面に y = x のグラフを書いてみよう。
グラフを眺めると、y の値が正である部分と負である部分がある。
負である部分を x軸対称に折り返して、そこだけ y の正負を変えると
y = |x| のグラフが作れる。グラフは V 字形をしている。
そのグラフ全体を y軸負方向に 1 だけ移動すると、
y = |x|-1 のグラフになる。 V 字の谷底が x軸より下になる。
このグラフで再び y の値が負である部分を x軸対称に折り返せば
y = ||x|-1| のグラフができる。グラフは W 字形をしている。
そのグラフを式で書けば、質問文中の式のようになる。

式中 2個の絶対値記号に対応して、2回グラフの折り返しを行ったが、
このときグラフのどの部分をひっくり返してどの部分はひっくり返さないか
を分けるのが、一番最初に書いた場合分けになっている。
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Q=||x|-1|


怖がらずビビらずになるべくシンプルに考えること。

① |x| ← 絶対値の記号が付くことで必ず、|x|は正の実数域となる
② ||x|-1| ← 同様に、絶対値の記号が付くことで必ず、||x|-1|は正の実数域となる


①の条件だけで、Q= が正の実数域になる場合、|x|≧1 であることが条件になります。
それは、 (x≧1)のとき、x-1   …a この場合は基本的に何もしていない
     (x<-1)のとき、-x-1   …b この場合は、xに-1を掛けて正の絶対値になるようにします。
というふうに2つの場合になります。


②の条件で、Q= が正の実数域になる場合、||x|-1| が 0≦||x|-1|<1 であることになります
0以上1未満というのは、それ以外の 1以上が 上で説明した2つのaとbの場合 に入るため、この問いでは除外されます

・(0≦x<1)のとき、|x|-1 は必ず負になるので、正の絶対値となるように、x-1 の全体に -1 を掛けて -x+1 とします。
・(-1≦x<0)のとき、|x|-1 は、この時xは、-1≦x<0 ですから 負の値になります、この時全体に-1を掛けるのですが、
上と違うところは、xが元々負であるので、|x|-1 の -1にのみ -1 を掛けて x+1 とします。

これをまとめたのが質問の答えになります。

絶対値の問題は、ややこしくて式中の正負の値が何処で変化するか、条件分けをするのが面倒くさいです。
書かれた式からどのような条件分けをするのか、読み解くのが勝負になりますね。
絶対値の問題は1度や2度、練習問題を解いただけではなかなか理解したとは言えないです。

応用問題が出たときに思わぬ落とし穴に引っかかるのと、解くテクニックに固執した部分があるので、私はあまり好きじゃないです。
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Q=||x|-1|



(1) |x|-1≧0のとき、|x|≧1より、x≦-1 , 1≦x ……① のとき、
Q=|x|-1
(ⅰ)x≧0のとき、①と合わせると、x≧1のとき、
Q=x-1
(ⅱ)x<0のとき、①と合わせると、x≦-1のとき、
Q=-x-1

(2) |x|-1<0 のとき、|x|<1 より、-1<x<1 ……② のとき、
Q=-(|x|-1)=-|x|+1
(ⅲ)x≧0のとき、②と合わせると、0≦x<1のとき、
Q=-x+1
(ⅱ)x<0のとき、②と合わせると、-1<x<0のとき、
Q=x+1

まとめると、
(x≧1)のとき、x-1
(0≦x<1)のとき、-x+1
(-1<x<0)のとき、x+1
(x≦-1)のとき、-x-1

xの範囲の境目、x=-1 , 0 , 1のときのQの値は、どちらの範囲でも同じです。
よって、等号はどちらの範囲につけても問題ありません。
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