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なぜcos(ax)=(1/2){e^(iax)+e^(-iax)}と導けるのでしょうか?

A 回答 (2件)

結果は有名だけれど、説明の方法は cos(t) と e^t の定義次第ですね。


指数関数や三角関数を定義する方法は、同値なものがいくらでもありますから。
個人的には、微分方程式 dy/dt = y, y(0) = 1 の解を y = e^t の定義とし、
cos は cos(t) = (1/2)(e^it + e^-it) で定義してしまう方式が好きです。
このやり方だと、質問の式は cos の定義に t = ax を代入しただけとなります。
わりと普及しているのは、cos も e^ もマクローリン展開で定義してしまう方法かな。
三角関数のマクローリン展開がそれほどシンプルな式でないので、私は嫌いですが、
諸々の公式の証明などが完結になるので、広く世間でこのまれています。
そのやり方では、質問の式の両辺をマクローリン展開すると一致することが証明となります。
他にも、関数たちの定義のあり方次第で、証明は様々になります。
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e^iax=cos(ax)+isin(ax)


e^(-iax)=cos(ax)-isin(ax)
この2つの式を辺々加えると、
e^iax+e^(-iax)=2cos(ax)
したがって、
cos(ax)=(1/2){e^(iax)+e^(-iax)}
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