数列の極限の定義

はじめに:
　質問文を書いている途中で質問タイトルとは本質的に異なる、よりミクロな疑問（質問中、括弧内に記述された疑問）が生じました。
　本来であれば、そのミクロな疑問に対する質問のみを書くべきかと存じますが、その疑問の具体例として質問タイトルの質問を残しております。
　回答は、どちらか一方、または双方のどちらでも構いません。
　お手すきの際にご回答いただければ幸いです。
　よろしくお願いします。

集合、論理記号、種々の記号、自然数、実数は定義されているものとします。

実数全体の集合を R、自然数全体の集合を N:={1, 2, 3, ...}とする。

-----数列の定義-----
関数 a:N→R を無限数列（または単に数列）と呼び、「数列 (a_n)」と記す。
また、任意の n∈N に対し、a(n) を a_n と書き、数列 (a_n) の第n項と呼ぶ。
任意の n∈N に対し、a_n が計算可能な式を一般項という。
一般項のことを a_n と書くこともある。

-----極限の定義-----
数列 (a_n) に対し、
∃α∈R, ∀ε>0, ∃m∈N, ∀n∈N, (n ≧ m ⇒ |a_n - α| < ε)
を満たすとき、数列 (a_n) はαに収束すると言う。
このようなαは存在するなら唯一つで、このαを数列 (a_n) の極限値と呼び、このとき
lim [n→∞] a_n = α
と表記する。

以上のように数列と極限を定義した上で...

lim [n→∞] 1 / (n - 1) = 0 ...... ①
これに違和感を持ちませんか？
これを示すためには、（上記定義に従えば）
∃数列 (a_n) s.t. lim [n→∞] a_n = 0 かつ ∀n∈N, a(n) = 1 / (n - 1)
を示す必要があります。
右辺の 1 / (n - 1) は、n = 1 で定義されない計算式（文字式？数式？記号？右辺のヤツが何者かもよく分かってない）です。
したがって（？？根拠不十分）、関数 a も n = 1 で定義出来ませんから、定義域を N とすることができず、関数 a は数列になりえません。
　
なので、上記の数列、極限の定義のみでは、①の記号が現状、未定義になっています。

したがって、いわゆる "数列の極限" と呼ばれるものは、数列に対して定義されているのではなくて、数列らしきものに定義されているのではないかと考えています。

-----擬数列の定義-----
S:Nの無限部分集合として、-----数列の定義----- において、N を S で置き換えた定義。

こうしておいて、擬数列に対して極限を定義すれば丸く収まるように思うのですが。
みなさんの考えを聞かせて下さい。
（考えれば考えるほど、もっと基本的なレベルでよく分からなくなってきました。）
（支離滅裂ですみません。）
（a_n = n に対し、a_n と n の違い（左は n に値を入れてもすぐに計算できないけど、右はすぐできる）、一般項の定義が曖昧、ただの記号の並び「n^2+n」と、∀n∈Nをとったあとの「n^2+n」。文字 a とそれに1を代入した結果である記号「1」（数字と呼ぶ？）の違いが、ひとまず分かっていないのかもしれません。これ、なんていう分野の問題ですか…？（数理論理学？））

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/02/21 19:31

訂正します

関数
{1/(n-1),　n=2,3,4,…}
=
{1,1/2,1/3,…}
=
数列
{1/n, n=1,2,3,…}

だから

{1/(n-1),　n=2,3,4,…}
と
{1/n, n=1,2,3,…}
は
「数列」としては同じものなのです
だけれども
定義域が異なるので
異なる関数なのです
異なる関数を同じ「数列」としてはいけないのです
だから

{1/(n-1),　n=2,3,4,…}
は
数列ではなく関数なのです

だから
関数{1/(n-1), n=2,3,4,…}→数列{1/n, n=1,2,3,…}とすべき
関数{1/(n-1), n=3,4,5,…}→数列{1/(n+1), n=1,2,3,…}とすべき
関数{1/(n-1), n=4,5,6,…}→数列{1/(n+2), n=1,2,3,…}とすべき
なのです

「数列」を比較する場合と同様に
「関数」を比較する場合も
定義域を一致させる必要があるので
いずれにしても
1/(n-1)という表現は使えません

{1/(n-1),n=2,3,4,…}
ではなく

{1/max(n-1,1),n=1,2,3,…}
と
すべきです

この回答へのお礼

なるほど…
その解釈でうまくいきそうですね！
ありがとうございました。

お礼日時：2020/02/24 12:50

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/02/21 05:19

関数

{1/(n-1),　n=2,3,4,…}
=
{1,1/2,1/3,…}
=
数列
{1/n, n=1,2,3,…}

だから

{1/(n-1),　n=2,3,4,…}
と
{1/n, n=1,2,3,…}
は
「数列」としては同じものなのです
だけれども
定義域が異なるので
異なる関数なのです
異なる関数を同じ「数列」としてはいけないのです
だから

{1/(n-1),　n=2,3,4,…}
は
数列ではなく関数なのです

だから
関数{1/(n-1), n=2,3,4,…}→数列{1/n, n=1,2,3,…}とすべき
関数{1/(n-1), n=3,4,5,…}→数列{1/(n+1), n=1,2,3,…}とすべき
関数{1/(n-1), n=4,5,6,…}→数列{1/(n+2), n=1,2,3,…}とすべき
なのです

どうしても1/(n-1)という表現を使うのであれば
数列ではなく
関数と呼んで定義域を定義すればよいのです
数列の極限ではなく
関数の極限といえばよいのです

この回答へのお礼

その場合ですと、例えば、

数列 (a_n) が、2以上の自然数 n について
0 ≦ a_n ≦ 1/(n-1)
を満たすとき、lim [n → ∞] a_n = 0 を示せ。

といった問題の場合、

lim [n → ∞] 0 = 0
と
任意の数列 (a_n), (b_n), (c_n) と n_0∈N, c∈R に対し、
∀n∈N, n ≧ n_0 ⇒ a_n ≦ b_n ≦ c_n
かつ lim [n → ∞] a_n = lim [n → ∞] b_n = c
ならば lim [n → ∞] c_n = c
(はさみうちの定理)

が使える状況下では、普通、はさみうちの定理から示すと思いますが、関数の極限と捉えてしまうと、はさみうちの定理が使えなくなってしまうのではないでしょうか。

お礼日時：2020/02/21 17:38

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/02/19 11:17

https://ja.wikipedia.org/wiki/数列
の
数列の定義では
S を自然数全体の集合 N またはその n における切片 {0, 1, 2, …, n} とするとき、
S から実数（あるいは複素数）への関数 a を数列（すうれつ、英: sequence）と呼び、
順序付けられた数の並びとして
a0, a1, a2, …, an, …
のように記す.
と書いてある通り
数列の定義域は0か1のどちらかから始まるのです

1/(n-1), n = 2,3,4,…
は
数列ではありません関数です
数列と呼ぶ必要もありません

この回答へのお礼

確かにそのように解釈すれば、数学上何も問題ありませんが…
イマイチ、その解釈は強引すぎる感じがしています。

お礼日時：2020/02/21 02:26

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/18 23:23

極限とは関係のない話題かなあ。

別に、「数列」の添字が 1,2,3,... でなきゃいけないなんてシバリはないじゃん？
1/(n-1), n = 2,3,4,... だって
1/(n-1), n = 3,4,5,... だって
1/(n-1), n = 4,5,6,... だって、どれも「数列」。
特に a_n, n = 0,1,2,... を数列と呼ぶことはよくある。
「数列 a_n」というときに添字の範囲を明示しないことが、よくない。
高校あたりの教科書が、そういうおかしな習慣をすりこんでしまうんだと思う。
「関数 f(x)」というときに x の範囲を勝手に全実数だと思い込んでしまう
人が多いのと、状況はよく似ているのかもしれない。

この回答へのお礼

すなわち、数列の定義域は、k∈N を用いて、{n∈N | n ≧ k} ではないか
というご意見ですね。
こちらであれば確かに、極限は問題ないですね。

数列の定義域がこのような集合で定義されるような、参考文献等ございますか。

お礼日時：2020/02/19 09:35

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/02/18 20:29

lim [n→∞]1/(n-1)=0

↓n=xとすると
lim [x→∞]1/(x-1)=0
は
数列の極限ではありません
定義域が(x≠1)の
関数
f(x)=1/(x-1)
の極限です

疑数列を定義する必要はありません

どうしても数列といいたいのならば
a(n)=1/n
とすればよいのです

この回答へのお礼

なるほど、つまり、より一般的に数列の極限に見える
lim [n→∞] 1 / (n - 1)
というのは、数列の極限ではなく、関数の極限というわけですね。

お礼日時：2020/02/18 21:17