sinθをテイラー展開したいのですが、 sinθのテイラーの式ができるまでの過程の式を教えていただけ

sinθをテイラー展開したいのですが、
sinθのテイラーの式ができるまでの過程の式を教えていただけないでしょうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/20 22:07

f(x) の x=α を中心とするテイラー展開は、

f(x) = Σ[n=0→∞] (c_n){ (x-α)^n }/n!,　c_n = [ (d/dt)^n f(t) ]_(t=α) です。
これを知らなかたら、「テイラー展開」を教科書なりWikipediaなりで調べましょう。

f(θ) = sinθ の場合は、実際微分してみれば
c_(4k) = sinα, c_(4k+1) = cosα, c_(4k+2) = - sinα, c_(4k+3) = - cosα となります。
c_n をもとの式に書き込むと、
sinθ = Σ[k=0→∞] { { (sinα)/(4k)! }(θ-α)^(4k) + { (cosα)/(4k+1)! }(θ-α)^(4k+1)
　　　　　　　　　　+ { (-sinα)/(4k+2)! }(θ-α)^(4k+2) + { (-cosα)/(4k+3)! }(θ-α)^(4k+3) }
とでも書けるかな。

これの応用として、α=0 の場合(マクローリン展開)は、
sinθ = Σ[k=0→∞] { { 1/(4k+1)! }θ^(4k+1) + { -1/(4k+3)! }θ^(4k+3) } となります。

参考までに、これを Σ を使わずにナンチャッテ記法で書くと、
テイラー展開は sinθ = (sinα) + (cosα)(θ-α) - { (sinα)/2! }(θ-α)^2 - { (cosα)/3! }(θ-α)^3 + …,
マクローリン展開は sinθ = θ - (1/6)θ^3 + (1/120)θ^5 - (1/5040)θ^7 + …
ですね。