数II、解と係数の関係を解の配置問題で解く場合

（2）二次方程式x^2＋2mx＋2m^2-5＝0の2つの解がともに１より小さい
（3）二次方程式x^2＋2mx＋2m^2-5＝0の一つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。

この問題を解の配置で解く場合
（2）D>0 軸<1 f(1)>0
（3）f(1)<0
という条件で正しいですか？

もし正しいとして、なぜ（２）では条件が３つなのに
（３）は条件が１つなのかがわかりません。
解説は解と係数の関係で解いていますが、
解の配置で教えていただきたいです。
お願いします！

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/02/23 21:59

f(x)=x^2＋2mx＋2m^2-5 として2次関数のグラフをイメージしてください

f(1)>0だけでは　2次関数のグラフがｘ軸と交わる（接する）保証はありませんよね
したがってこれだけでは、x^2＋2mx＋2m^2-5が解をもつ保証はありません。
そこで、D＞０が必要だということになります
しかしこの２つだけでは、まだ不十分で、x=1より大きなｘで２次関数のグラフがx軸と交点を持つ可能性が残ります（解がｘ＝１より大きくなってしまう可能性がある）
なぜならば、この２条件ではグラフがx軸と交わりかつ、x=1ではグラフはx軸より高い位置に来る
そのようなグラフはx<1の部分２か所でx軸と交わるタイプと、x>1の部分２か所でｘ軸と交わるようなタイプに分かれる
そこで、３つ目の条件：軸＜１これで、x=1より大きな解を持たないタイプのグラフに限定できるのです

さて、（３）ではどうか？
f(1)<0ということはグラフの１部分がx軸より下になるということを表しますが
　この2次関数のグラフが下に凸で上側に開いていくような形状であるため、グラフは必ずx軸より上になる部分を持ちます
したがって、この条件だけでグラフはｘ軸と交わるという条件も兼ねてしまうのでD>０は不要です
また、f(1)<0と言うことはx=1より徐々にｘの値を大きくしてグラフ上でx=1より徐々に右へ視線を移していくと
グラフの位置は徐々に高くなっていきますから、x=1より右側部分で必ず、グラフとx軸は交点を持つことになります
反対に、x=1より徐々にｘの値を小さくしてグラフ上でx=1より徐々に左へ視線を移していくと
この場合もまた、グラフの位置は徐々に高くなっていきますから、x=1より左側部分で必ず、グラフとx軸は交点を持つことになります
したがって先ほどのようなグラフが２タイプになる可能性もなく　軸の条件も不要なのです
ゆえに、(3)では１条件だけ足りているのです

ここで、(2)もx'を適切に選んでf(x')<0だけの条件で済ませるのでは？と思われるかもしれません
しかし、適切に選んだ（つもりの）ｘ’で確実にf(x')<0になる保証はありませんからx'自体が見つけられないのです
ゆえに、（２）では３条件でグラフの絞り込みが必要となります

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2020/02/23 21:11

＞この問題を解の配置で解く場合

＞（2）D>0 軸<1 f(1)>0
＞（3）f(1)<0
＞という条件で正しいですか？

はい。よいと思います。

＞なぜ（２）では条件が３つなのに
＞（３）は条件が１つなのかがわかりません。

（３）では、2次項の係数が正なので「下に凸」であり、f(1)<0 の条件が D>0 の条件と等価であり、かつ x 軸との交点が x<1 と 1<x の2点であることにもなるからです。

条件の数の問題ではなく、「必要十分条件」を満たしていればよいのです。