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微分方程式の変数分離の解法について。
dy/dx=p(x)q(y)⋯①を1/q(y)・dy/dx=p(x)⋯②と変形して求めた場合、q(y)が0になる可能性があるので
②は①の必要条件ではないと思うのですが、②の解と①の解は一致するのでしょうか?

A 回答 (5件)

> C=1だとしてもyが1や2の値をとるかどうかはわからないのではないでしょうか?



意味が分からない。
不定だというのであれば、例を出してみて。
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この回答へのお礼

y>0の時、√y=x+1を満たす関数yだけでは関数yがとる値はわからないのではないのですか?yが1とか2を実際にとるかは不明なのではないのでしょうか?

お礼日時:2020/02/28 00:16

> y>0のとき√y=x+cだけでは、どのxでyがy>0となるかが不明なのではないでしょうか?



No.3で書いた通り、Cは積分定数なので、y>0を満たせばxとyは一意に決まる。
例えば、Cが1だとすると、

y=1のときx=0となる。
y=2のときx=√2-1となる。

不等式で考えるのであれば、当然xはある値より大きいという表記になる。
x+C=√y>0
x+C>0
x>-C

先ほどのようにCが1だとすると、x>-1となる。
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この回答へのお礼

C=1だとしてもyが1や2の値をとるかどうかはわからないのではないでしょうか?

お礼日時:2020/02/27 22:12

> 例えばy′=2√yをどのように場合わけをして解かれるのでしょうか?



こんなかんじかな。

(1) y>0のとき
dy/dx=2√y=2y^(1/2)
∫(1/2)y^(-1/2) dy =∫dx
√y=x+C

(2) y=0のとき
dy/dx=0
y=C

C:積分定数

※y<0のときは右式が虚数になるため省略。
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この回答へのお礼

y>0のとき√y=x+cだけでは、どのxでyがy>0となるかが不明なのではないでしょうか?

お礼日時:2020/02/27 21:26

そのとおり。


q(y(x))=0 となる x を境に
②両辺の積分定数が違う可能性がありますから、
同値ではありませんね。

例えば、dy/dx = (1 - tan x)y の解は y = A(cos x)e^x (A は定数) ですが、
これを (1/y)(dy/dx) = 1 - tan x として扱ってしまうと、
積分したとき log|y| = x + log(cos x) + C (C は定数) となって
初期条件を代入しても x = π/4 の前後で C が同じ値とは限らなくなってしまいます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ではdy/dx=p(x)q(y)の形の微分方程式はどのようにして解けば良いのでしょうか?

お礼日時:2020/02/27 21:20

dy/dx=p(x)q(y)の微分方程式を解くのであれば、q(y)=0とq(y)≠0で場合分けが必要。


q(y)=0とq(y)≠0では、導出される式は変わる。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
参考にしている本には場合わけはあまり意味がないと書かれていたのですが、回答者さんは例えばy′=2√yをどのように場合わけをして解かれるのでしょうか?

お礼日時:2020/02/27 20:37

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