(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b) これ

(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)
これの解き方を教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/02/29 05:40

(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)

=(b-c){x²-(b+c)x+bc}+(c-a){x²-(c+a)x+ca}+(a-b){x²-(a+b)x+ab}
={(b-c)+(c-a)+(a-b)}x²-{(b²-c²)+(c²-a²)+(a²-b²)}x+bc(b-c)+ca(c-a)+ab(a-b)
=b²c-bc²+c²a-ca²+a²b-ab²
=(b-c)a²-(b²-c²)a+bc(b-c)
=(b-c){a²-(b+c)a+bc}
=(b-c)(a-b)(a-c)
=-(b-c)(c-a)(a-b)

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2020/02/29 07:41

解き方って、

(x-b)(x-c)(b-c)+(x-c)(x-a)(c-a)+(x-a)(x-b)(a-b)
このままでダメなのかい。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/02/29 14:00

方程式でないものに「解き方」ってのもオカシナ話だが、

その式を展開して整理しろって意味で言っているのかな？

暗算で計算する方法がある。
パッと見で、x=a, x=b, x=c のどれを代入しても
2個の項が 0 でもう １個の項が -(a-b)(b-c)(c-a) になる。
(問題の式) + (a-b)(b-c)(c-a) が (x-a)(x-b)(x-c) で割り切れることになるが、
ｘ の三次式を三次式で割るから商は定数で
(問題の式) + (a-b)(b-c)(c-a) = k(x-a)(x-b)(x-c) と置ける。
この式で b = c の場合を考えると 0 + 0 = k(x-a)(x-b)^2 で、
これが x ≠ a,b のときにも成り立つためには k = 0。
つまり、(問題の式) = -(a-b)(b-c)(c-a) である。