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ある大学の男子学生 1,000 人の身長は,平均 170cm,標準偏差 7cmの正規分布に従うものとする。身長が 165cmから 175cmまでの学生の人数は何人いると考えられるか。

この問題を画像の公式と標準正規分布表を使い解かなければいけないのですが、全くわかりません。

こちらの解き方を教えていただきたいです。

よろしくお願いします。

「ある大学の男子学生 1,000 人の身長」の質問画像

A 回答 (3件)

企業でSQCを推進する立場にいる者です。



誰も、「式を使った方の解法」について回答していませんね。

あの式は確率密度関数と言って、-∞から+∞まで積分すると1(=100%)になります。
つまり、確率は面積なのです。

ということは、あの式にあらかじめμ=170、σ=7を代入しておいて、
165から175まで定積分すれば良いのです。
その計算結果が解答になります。

とは言っても、あの式は積分は難しそうですよね。
そこで、「ガウスの積分公式」を調べてみて下さい。

前半は他の人が回答できないくらい高度な問題です。
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>この問題を画像の公式と標準正規分布表を使い解かなければいけないのですが



画像の公式の計算結果を表にしたのが「標準正規分布表」です。

「標準正規分布」とは N(0, 1) つまり「平均が 0, 分散が 1(つまりその平方根である標準偏差も 1)」という分布ですから、
「平均 170cm,標準偏差 7cmの正規分布」から「標準正規分布」に規格化するためには

 Z = (x - 170)/7

という変換をすればよいのです。

x=165 なら
 Z1 = (165 - 170)/7 = -0.714285・・・ ≒ -0.7143
 Z2 = (175 - 170)/7 = 0.714285・・・ ≒ 0.7143
ということになります。

従って、
(a) 画像の式に μ=165, σ=7 を代入して、165~175 で積分する
もしくは
(b) 標準正規分布表を使って、Z=-0.7143 ~ 0.7143 となる確率を読み取る
 (標準正規分布表は Z≧0 の範囲でしか書かれていないことが多く、Z=0 に対して対称ですから、Z=0 ~ 0.7143 となる確率を読み取って、それを2倍してください)
 例えば、下記の「標準正規分布表」だと
  P(0≦Z≦0.71) = 0.2611
  P(0≦Z≦0.72) = 0.2642
になります。
https://www.koka.ac.jp/morigiwa/sjs/standard_nor …

「標準正規分布表」だとZ の値は少数以下2桁までしか与えられていないので、本来は「有効数字2桁程度」ですが、上記を「直線補完」して
  P(0≦Z≦0.7143) ≒ 0.2611 + (0.2642 - 0.2611)*0.43 = 0.262433 ≒ 0.2624
とすれば
  P(-0.7143≦Z≦0.7143) ≒ 0.2624 × 2 =0.5248
以上より、「1000人」に対する度数は
  1000 (人) × 0.5248 = 524.8 ≒ 525 (人)
となります。

なお、お示しの正規分布の式を「エクセル」で実行させることがてきます。
「NORM.DIST」関数を使い、x=165, 平均=170, 標準偏差=7, 関数形式=TRUE(累積確率)として計算すると
  P(0≦x≦165)
の確率が計算されますから
  P(165≦x≦170) = 0.5 - P(0≦x≦165)
→ P(165≦x≦175) = 2 * P(165≦x≦170)
を計算するためには
  (0.5 - NORM.DIST(165,170,7,TRUE))*2
を計算してください。
正攻法で
  P(0≦x≦175) - P(0≦x≦165)
を計算するために
  NORM.DIST(175,170,7,TRUE) - NORM.DIST(165,170,7,TRUE)
としてもよいです。
試しにやってみたら、いずれの計算式でも
  「0.524949」
という結果になりました。
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①165cm:偏差5cm⇒正規化偏差=5/7=0.71


②175cm:偏差5cm⇒正規化偏差=5/7=0.71

①正規分布表のz=0.71を検索すると0.2611
 中心から左の確率密度(面積)=0.2611

②正規分布表のz=0.71を検索すると0.2611
 中心から右の確率密度(面積)=0.2611

①~②間の面積だから0.2611+0.2611=0.5222(52.22%)

人数は1000人×0.5222=522人
「ある大学の男子学生 1,000 人の身長」の回答画像1
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