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lim 1+3+3^2+...+3^n/3^n
n→∞
この問題の解答ですが、一行目のイコール3^n+1-1/2が、なぜ分子がそうなるかわかりません。
自分は3^n+1-3/2だと思ったのですがなぜ違うのでしょうか

「lim 1+3+3^2+...+3^n/」の質問画像

A 回答 (2件)

等比数列の和は、基本公式なので、ちゃんと覚えたほうがいいでしょうね。


S = 1 + 3 + 3^2 + ... + 3^n と置くと、
3S =  3 + 3^2 + ... + 3^n + 3^(n+1) と引き算して
(3-1)S = 1 - 3^(n+1).
よって S = { 3^(n+1) - 1 }/2. 写真の1行目が合っています。

これと同様に 1 + r + r^2 + ... + r^n を自分で計算して、
結果を暗記しておきましょう。

{ 3^(n+1) - 3 }/2 が何を間違った結果なのかについては、
あなたがその式を導いた途中計算を書けばコメントできるかもしれません。

ところで、この問題は、最初から公比 1/3 の数列として
(1+3+3^2+ ... + 3^n)/3^n
= (1/3)^n + (1/3)^(n-1) + (1/3)^(n^2) + ... + (1/3)^0
= { 1 - (1/3)^(n+1) } / { 1 - 1/3 }
→ (1 - 0) / (2/3)
= 3/2.
で計算してもいいですね。
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初項a、公比r、項数nの等比数列の和の公式は、a(r^n-1)/(r-1) です。


問題の数列は、初項1、公比3、項数 n+1 なので、その和は、
1{3^(n+1)-1}/(3-1)={3^(n+1)-1}/2 となります。
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