命題の真偽 すべての実数x，yに対して x²-4xy+4y²≦0 x=2，y=1のとき、x²-4xy

命題の真偽
すべての実数x，yに対して　x²-4xy+4y²≦0

x=2，y=1のとき、x²-4xy+4y²=0
よって　真。

と答えたんですけど、
x=0，y=0じゃないと不正解ですか？

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2020/03/07 14:09

x²-4xy+4y²=(x-2y)² ですから、

x, y が実数ならば (x-2y) も実数になります。
実数の二乗は 負 にはなりません。
従って、x²-4xy+y²≦0 は 偽 となります。
x=2y のときに 0 になるだけです。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/03/07 11:20

>反例 x=1、y=1、x^2-4xy+y^2=1-4+1=-2

あ、ボケてる

反例 x=1、y=1、x^2-4xy+4y^2=1-4+4=1>0
申し訳ない。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/03/07 11:13

「全ての」はどこに行っちゃったのでしょう。

反例がひとつでもあれば偽です。

反例 x=1、y=1、x^2-4xy+y^2=1-4+1=-2

(x-2y)^2

だから、x=2yの関係が成り立たない時は負になってしまいます。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/07 11:03

図にすると画像のようになります。

ついでに必要・十分　条件についても解説
下図では、条件Pは条件Qの範囲の中に完全に包まれています。
このとき、P内にあれば、当然Q内に含まれることになるので
P⇒Qが成り立ち
これを「PならばQは真（P→Qは真）」と表現します
そして、PであることはQであるための十分な条件と言えます。＞＞＞「PはQであるための十分条件」と表現します

逆にQの一部はPに含まれていないので
Q⇒Pは常に成り立つとは言えない。つまり成り立たない　ということになり、
「QならばPは偽（Q→Pは偽）」となります
またQの範囲にあっても、Pの範囲であるためには不十分です。しかしPであるためには少なくともQであることが必要と言えます。
＞＞＞「QはPであるための必要条件」

まとめると
PがQに完全に包まれているとき
P⇒Qが真
PはQであるための十分条件
QはPであるための必要条件

このようなイメージになります

さて本題
「すべての実数x，yに対して　x²-4xy+4y²≦0」
すべての実数x，y（の組）・・・これを条件A
x²-4xy+4y²≦0（を満たすx,yの組）・・・これを条件Bとするとき
先に解説したようにAがBに完全に包まれているのなら、A→Bは真となります

で、実際に考察してみると
x=2，y=1、つまり(x,y)=(2,1)はA,B両方に含まれています
x=0，y=0つまり(0,0)もA,B両辺に含まれています
しかし、Aに含まれる組のうちのひとつ、(x,y)=(0,1)は　不等式左辺に代入するとx²-4xy+4y²=4≦0で矛盾ですから　Bに含まれません
他にもこのような、Aの中のx,yの組でBからはみ出てしまう組は多数あるので、
条件Bは条件Aに完全に包みこまれていることになるのです
逆にAはBからはみ出ている部分があるということです
よって画像のPがBに、QがAに該当することにるのでAならばBは　Q→Pの解説と同様で「偽」となるのです

このような時は、反例を1つ示してやればよく
「(反例、)x=0,y=1のとき　x²-4xy+4y²≦0は成り立たないからこの命題は偽　」のように答案を書いてあげればよいです

なお、この問題の模範解答が「真」であるなら質問文自体に不備があります。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/07 10:48

＞x=2，y=1のとき

そのときだけで、「すべての実数x，y」に対してではないですよね？

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/03/07 09:52

その命題は偽なので真は不正解です

x=1,y=0のとき,x^2-4xy+4y^2=1>0
よって
「
すべての実数x,yに対して x^2-4xy+4y^2≦0
」は
偽


すべての実数x,yに対して x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2≧0
は
真