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写真の問題の最小公倍数の求め方について。

写真の(2)の最小公倍数を問う問題で、
はみ出した素因数を最大公約数にかければ求められるから、最大公約数4にはみ出した3つの2と、5と7をかけて1120と答えたのですが、間違っていました。写真の解答をみると、2を2つと5と7をかけていました。ここがどうしてかよく分かりまはせんでした。教えてほしいです。

「写真の問題の最小公倍数の求め方について。」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 2枚目です。

    「写真の問題の最小公倍数の求め方について。」の補足画像1
      補足日時:2020/03/09 16:26

A 回答 (8件)

#2です 別の表現で説明いたします


求める最小公倍数は16に何かの数字(素因数)を掛け算したものですから
最小公倍数=2x2x2x2x〇x〇x〇・・・です ただし〇の個数は現時点では不明ですから適当に書きました
ここから言えることは 最小公倍数のなかには2x2x2x2(2の掛け算が4つ)が存在するということです…①

同様に最小公倍数は 28に何かを掛け算したものですから
最小公倍数=2x2x7x●x●x●・・・です
これからいえることは、最小公倍数の中には2x2とx7が存在ということです…②

さらに、最小公倍数は40に何かを掛け算したものですから
最小公倍数=2x2x2x5x△x△x△・・・です
これからいえることは、最小公倍数の中には2x2x2とx5が存在ということです…③

結果、①②③を合わせて言えることは 最小公倍数の中には2が4個と7が1個と5が1個存在するということです

5と7が1こずつ存在というのには疑問はないことでしょう
2については、まず②を見ると最小公倍数の中には少なくとも2が2こ存在ということです
次に③をみると2は少なくとも3個存在ということになります
ということは両者あわせた結論は 最小公倍数の中に少なくとも2は3個存在となります…④
さらに①を見てみると 2は4個存在していますから④と合わせた結論は2が4個存在となりますよね

つまり①より 「最小公倍数の中には2が4個存在」というのが
②の「2が2個存在」、③の「2が3個存在」ということをカバーしているということです
ゆえに、おなじ素因数2が複数個ある場合は、一番多く同種の素因数をもつ①に着目して
2は4個と考えてあげればよいということになります
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例えば


16=2×2×2×2
28=2×2×7
40=2×2×2×5
196=2ⅹ2ⅹ7ⅹ7
200=2ⅹ2ⅹ2ⅹ5ⅹ5
の場合、素因数列2ⅹ2ⅹ2ⅹ2は2ⅹ2ⅹ2と2ⅹ2を含むので2ⅹ2ⅹ2ⅹ2
    素因数列5ⅹ5は5を含むので5ⅹ5
    素因数列7ⅹ7は7を含むので7ⅹ7
よって、この場合の最小公倍数は2ⅹ2ⅹ2ⅹ2ⅹ5ⅹ5ⅹ7ⅹ7=19600
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16=2×2×2×2


28=2×2×7
40=2×2×2×5
のようにつめて書いていないのに注目してください。
同じ数の素因数の列をつくるように並べて表示します。
素因数2の下には素因数2がくるように、素因数5の列、素因数7の列のようにです。
そして、列をそのまま一番下に書きます。
16=2×2×2×2
28=2×2         ×7
40=2×2×2   ×5
  2×2×2×2 ×5 ×7
こうやって素因数の最大個数を求めています。
素因数2は16が4個、28が2個、40が3個。最大個数は4個です。2×2×2×2
素因数5は40が1個だけ。最大個数は1個です。×5
素因数7は28が1個だけ。最大個数は1個です。×7
なので、2×2×2×2×5×7を表みたいにして説明したのが解答です。
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各素数が掛けてある回数について


最小の個数を集めたものが最大公約数、
最大の個数を集めたものが最小公倍数になります。

3個以上の数の最大公約数を求めるときは、
最大公約数については、2個の数のときと同じように
すべての数に共通の素因数を見つければよいのですが、

最小公倍数については、2個以上の数に共通の素因数は
かぶってるとみなして、はみ出したほうには入れません。 ←ここがカギ

質問の(2)の場合、
16 と 40 の間で 2 が3個かぶっているので、これは共通とみなして
かぶっているものは 2×2×2、はみ出してるものは 2×5×7 で、
最小公倍数は 2×(2×2×2)×5×7 = 560 です。
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こういう問題は指数表現で書けば一目瞭然なんですが。


16=2⁴
28=2²・7¹
40=2³・5¹

各因数の指数を比べて、賄える大きさの指数を求めれば良いだけです。

2と言う因数:指数は4,2,3だから4で有れば全て賄える
7と言う因数:指数は1だけだから1で有れば全て賄える
5と言う因数:指数は1だけだから1で有れば全て賄える

∴最小公倍数=2⁴・7¹・5¹=16×7×5=560
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すみません。

詫びきれる、は割り切れる、の間違いです。
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16と28の2つをまず見ます


それぞれの素因数を見て 16と28の最小公倍数は、両方に共通にある2x2と16にしかない2x2と28にしかない7をかけてあげたもの
2x2x2x2x7(=112)となりますよね

次にこの(2x2)x(2x2)x7(=112)と40=2x2x2x5を比べます
両者に共通な 2x2x2と 112にしかない2x7と 40にしかない5を取り出して
最小公倍数は (2x2x2)x2x7x5=560と求められます

16,28,40を同時に考えるなら、
共通なものが2x2
28にしかないものが7,
40にしかないものが5
そして 16にしかないものが 2x2と考えます
すると、40にある2一つは、40にしかないと2とは言えないのでカウントする必要がないのです
このように、はみだすという表現を、~にしかない素因数 という表現に変えて考えてみてはいかがでしょうか
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。すると、~ないのです。の部分がよく分かりませんでした。

お礼日時:2020/03/10 00:00

最大公約数からはみ出した素因数を全てかけるのではありません。

はみ出したもののうち、それぞれから最大個数を選んでかけるだけです。

例えば、素因数の2について、16では2こ、28では0こ、40では1こ、はみ出しています。最大は2こですので、2こをかけたのです。

最大公約数にからめて解説されているので少しややこしくなっているようですが、求めた最小公倍数をよく見ると、2が4こ、5が1こ、7が1こ、をかけ合わせたものです。実は、これは元の数に含まれる素因数について最大個数であるものを選んでかけたものになっています。こうしておけば、どの素因数についても元の数以上になりますから、最小公倍数は元のどの数で割っても詫びきれることになるのです。
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