(2)(3)がわかりません、、 教えてください。よろしくお願いします。 (2)標準基底に関する表現行

(2)(3)がわかりません、、
教えてください。よろしくお願いします。


(2)標準基底に関する表現行列 = 標準行列 のことでしょうか？
(3)1 5 a +2
-1 5 -4a-1
2 5 a+1

この3×3行列を簡約化して解いていく方法で合ってますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2020/03/09 21:21

f([0;1;0])

=f([2;1;0]-[2;0;0])
=f([2;1;0])-f([2;0;0])
=[5;5;5]-2f([1;0;0])
=[5;5;5]-2[1;-1;2]
=[5;5;5]-[2;-2;4]
=[3;7;1]

R^3の標準基底
{[1;0;0],[0;1;0],[0;0;1]}
に関するfの表現行列
A=[f([1;0;0]),f([0;1;0]),f([0;0;1])]

A
=
[1.,3,a+2..]
[-1,7,-4a-1]
[2.,1,a+1..]

fの表現行列Aの行列式|A|≠0のとき
fは全単射だからKerf={0},dimKerf=0となるから

fの核Kerfの次元dimKerf>0になるときは
fの表現行列Aの行列式
|A|=0
となるから
|A|=0
=
|1.,3,a+2..|=0
|-1,7,-4a-1|
|2.,1,a+1..|
=
|1,3.,a+2.|=0
|0,10,1-3a|
|0,-5,-a-3|

10(-a-3)+5(1-3a)=0
2(a+3)+3a-1=0
5a+5=0
a+1=0
∴
a=-1

A
=
[1.,3,1]
[-1,7,3]
[2.,1,0]

[x;y;z]∈Kerf
とすると
f([x;y;z])=0
だから
A[x;y:z]=0
=
[1.,3,1][x]=[0]
[-1,7,3][y].[0]
[2.,1,0][z].[0]

x+3y+z=0
-x+7y+3z=0
2x+y=0
y=-2x
z=5x

[x;y;z]=[x;-2x;5x]=x[1;-2;5]

∴Kerfの基底は

{[1;-2;5]}

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
とてもわかりやすかったです。
解決しました！

お礼日時：2020/03/10 21:15

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/09 21:22

(2)

「標準行列」って何でしょう？ 私は聞いたことがありません。
線型写像の表現行列の成分は、定義域と地域それぞれの基底の取り方によって変わります。
それは、定義域と地域それぞれのベクトルの成分表示が基底の取り方によって変わるからです。
ユークリッド空間からユークリッド空間への線型写像の場合、定義域にも地域にも標準基底が
存在しますから、その基底の上での線型写像の成分表示が考えられます。
それのことを、特に基底に言及せず黙って「表現行列」と呼ぶことも多いようです。
正式には「標準行列」って言うんでしょうか？ 知らんけど。

(1)の答えが f([0 1 0]) = f([2 1 0] - 2[1 0 0]) = f([2 1 0]) - 2 f([1 0 0])
= [5 5 5] - 2[1 -1 2] = [3 7 1] なので、
f([1 0 0]), f([0 0 1]) の値と合わせて
A = f(E) =
　　1　　3　　a+2
　　-1　　7　　-4a-1
　　2　　1　　a+1
です。

(3)
先に a を決めてから一次方程式を解いたほうがよいでしょう。
未知数 a を係数に残したまま Ker を求めるのは、(不可能ではありませんが)たいへんです。

Ker f = { x∈R^3 | Ax=0 } ですから、 dim Ker F ≠ 0 ⇔ F が非正則 ⇔ det A = 0 となります。
(2)の結果を用いて計算すると、det A = -25(a+1) なので。求める a は a = -1 です。

また、このとき、ker f は一次方程式 Ax = 0 の解空間ですから、
a = -1 の下に Ax = 0 を解いて y = -2x, z = 5x です。
すなわち、Ker f = { (x,-2z, 5x) | x∈R } であり、dim Ker f = 1,
v ∈ Ker f ⇔ v // (1,-2, 5).
Ker f の基底(の一例)として、{ (1,-2,5) } が挙げられます。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。『標準行列』と調べても出て来なかったので、一般的な表現ではないのでしょう。助かりました。

お礼日時：2020/03/10 21:15