「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

A_n+1 - A_n=nr^n
B_n+1 - B_n=n²r^n
を満たす数列(A_n),(B_n)を求めよ.

よろしくお願いします。

A 回答 (4件)

#3さん、ご指摘ありがとう。

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r=1かどうかの場合分け要りますよ

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1.


Σ[k=0,n-1] r^k=(1-rⁿ)/(1-r)
両辺をrで微分して
Σ[k=0,n-1] kr^(k-1)
=Σ[k=1,n-1] kr^(k-1)=-nrⁿ⁻¹/(1-r)+(1-rⁿ)/(1-r)²
両辺にrを掛けて
Σ[k=1,n-1] kr^k=-nrⁿ/(1-r)+r(1-rⁿ)/(1-r)²・・・・・①

①の両辺をrで微分して
Σ[k=1,n-1]k²r^(k-1)=-n²rⁿ⁻¹/(1-r)-nrⁿ/(1-r)²+{1-(n+1)rⁿ}/(1-r)²+(r-rⁿ⁺¹)2/(1-r)³
=-n²rⁿ⁻¹/(1-r)+{1-(2n+1)rⁿ)/(1-r)²+2r(1-rⁿ)/(1-r)³
両辺にrを掛けて
Σ[k=1,n-1] k²r^k=-n²rⁿ/(1-r)+{r-(2n+1)rⁿ⁺¹)/(1-r)²+2r²(1-rⁿ)/(1-r)³・・・・・②

2.
An-A[n-1]=(n-1)rⁿ⁻¹
・・・・・
A₂-A₁=r
An-A₁=r+2r²+・・・+(n-1)rⁿ⁻¹=Σ[k=1,n-1] kr^k
①から
An=A₁-nrⁿ/(1-r)+r(1-rⁿ)/(1-r)²

3.
Bn-B[n-1]=(n-1)²rⁿ⁻¹
・・・・・
B₂-B₁=r
Bn-B₁=r+2²r²+・・・+(n-1)²rⁿ⁻¹=Σ[k=1,n-1] k²r^k
②から
Bn=B₁-n²rⁿ/(1-r)+{r-(2n+1)rⁿ⁺¹)/(1-r)²+2r²(1-rⁿ)/(1-r)³
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初項の記載はありませんか?

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