「気体の状態変化」でわからない問題があります: 1molの単原子分子理想気体を、次の図のように、A→

「気体の状態変化」でわからない問題があります:

1molの単原子分子理想気体を、次の図のように、A→B→C→Aの順にゆっくりと変化させた。A→Bは定積変化、B→Cは断熱変化、C→Aは定圧変化である。このサイクルを熱機関とみなしたときの熱効率はeであった。気体定数をRとする。
B→Cにおいて、気体が外部にした仕事はどのように表されるか？

(回答は: 選択肢で③)

基礎的な質問で、申し訳ありませんが、何度も手を入れてみましたが、答えはなかなか導けません…

どなたか解法を教えてください〜
お願いします

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/21 21:14

求めるのが気体の仕事なので　B→Cの変化で熱力学の第一法則を考えることから始めます

ΔU=Q+Wですが、断熱変化なのでQ=0 ですので
ΔU=Uc-Ub=W …①
ただし、Uc、UbはC,Bの状態での気体の内部エネルギー、Wは気体がされた仕事です
Wは答えに直結しますから
Uc、Ubを調べに生きます
たん原子分子理想気体の内部エネルギーは　U=(3/2)nRT=(3/2)PVと表されるので
Uc=(3/2)Po(2Vo)=3PoVo…②
一方Ubは情報不足で詳細不明

そこで、状態Aに手がかりを求めます
Aでの内部エネルギーは　Ua=(3/2)PoVo
A→Bでの変化は　吸熱（外部から熱を得る）変化なので、この熱をq1とすれば
熱力学の第一法則により
ΔU=q1+0 です　
定積変化では気体膨脹がないので気体がする仕事（される仕事）は０
（ちなみに、ΔU=Q+W　⇔Q=ΔU-W=ΔU+W'(W'は気体がする仕事）　ですから　気体が得た熱量が内部エネルギーの増加と仕事に変わることが分かります　→このことから、内部エネルギーが増加しているA→Bは吸熱です。
裏を返せば、気体が仕事をされ、内部エネルギーを減少している部分は放熱です・・・C→Aは放熱）

ここに、ΔU=Ub-Uaですから
Ub=ΔU+Ua=q1+(3/2)PoVo…③　です

Ubが少し見えてきましたが、自分で設定した文字q1が存在するのでこれを消去することを考えます

熱効率に着目して1サイクルでの放熱の量をq2とすれば
e=(q1-q2)/q1
⇔q1=q2/(1-e)…④
これを代入すれば　q1は消えますが今度はq2が残ってしまいますから、これを消去することが必要です

C→Aの変化に着目して　熱力学の第一法則より
ΔU=Ua-Uc=-q2+PoΔV=ｰq2+PoVo 　←←←された仕事[N・m]＝圧力[N/m²]x体積変化[m³] 　ちなみに[Nm]=[J]
⇔q2=PoVo-ua+Uc=poVo-(3/2)PoVo+3PoVo=(5/2)PoVo…⑤

これでq1,q2を消すのに十分な式が出そろいました
①へ②③を代入で
W=Uc-Ub=3PoVo-(q1+(3/2)PoVo)=-q1+(3/2)PoVo
ここへ更に④，5を順に代入して
W=-q2/(1-e)+(3/2)PoVo
=(5/2)PoVo/(e-1)+(3/2)PoVo
=2.5PoVo/(e-1)+1.5POVo(e-1)/(e-1)
={PoVo/(e-1)}(2.5+1.5e-1.5)
={PoVo/(e-1)}(1+1.5e)
={PoVo/(2e-2)}(2+3e)　が得られました

Wは気体がされた仕事
求めるのは気体がした仕事ですから
気体がした仕事＝－W=③　と導けます

この回答へのお礼

ご解説をありがとうございました ;)
本当に助かりました〜

お礼日時：2020/03/25 22:56

No.1 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/03/21 08:37

概略だけ示しておきます。

多分、迷ったのはＢでの圧力が示されていない所だと思います。
そこで、ＡＢで気体が吸収した熱をQ(AB)
ＢＣで気体が外部にした仕事をW(BC) としておきます。
以下の文字付けは上記の文字付けと同様とします。

１サイクルで外部にした仕事はW(BC)－W(BA)
１サイクルで外から吸収した熱はQ(AB)・・・放出した熱は－Q(CA)です。
熱効率e={W(BC)－W(CA)}/Q(AB)
したがって、W(BC)=eQ(AB)+W(BA)・・・①
ここで、１サイクルにたいする熱力学第１法則をたてます。
０＝{Q(AB)－Q(CA)} + {－W(BC)+W(CA)}・・・②
何故なら、第１法則をΔＵ＝Ｑ（吸収した熱の和）＋Ｗ（気体がされた仕事の和）
とすると、１サイクルではΔＵ＝０となるからです。
W(CA)とQ(CA)は計算できて、式が２つあるので、W(BC)が求まります。

符号のタイプ・ミスがあるかも知れませんが、その時は許して下さい（＾＾；）
要するに、熱効率の式と１サイクルに対する第１法則の式が書ければ答えが出ます。

この回答へのお礼

ご回答をありがとうございました！
参考になりました〜

お礼日時：2020/03/25 22:55