やっぱり自分では解けませんでした。

1、次の条件をみたす円の方程式を求めよ。
(1) 3点(0,1),(2,3),(-1,2)を通る

2、次の円の方程式を求めよ。
(1) 中心が直線 y=-x+5上にあり、原点と点(-1,2)を通る円

(2) 2点(0,1),(1,8)を通り、x軸から長さ6の線分を切りとる円
  (ただし、中心が第一象限の円)

3、次の円と直線の位置関係(異なる2点で交わる、接する、共有点がない)を
  調べ、共有点がある場合は、その座標を求めよ。
(1) x^2+y^2=4,x-y=2√2  

4、円 x^2+y^2=4と直線y=mx+4について、次の場合の定数mのとりうる値の
  範囲を求めよ。
(1) 異なる2点で交わる
(2) 共有点がない

 よろしくお願いします。 

A 回答 (7件)

夏休み半ばなのに頑張ってますね。

応援します。

1.
点に記号をつけます。A(0,1),B(2,3),C(-1,2)とします。
まず中心を求めます。直線ABは例の2点を通る直線の方程式より
    3(x - 1) = (2 - 1)(y - 0)
整理して
    y = 3x - 3
ですから、ABの中点(3/2, 3/2)を通り直線ABに垂直な直線は
    y - 3/2 = -(1/3)(x - 3/2)    …(a)
一方、直線ACの方程式は
    2(x - 1) = (-1 - 1)y
即ち
    y = -x + 1
なのでACの中点(0, 1)を通り直線ACに垂直な直線は
    y - 1 = x
即ち
    y = x + 1    …(b)
3点ABCを通る円の中心はABの垂直2等分線とACの垂直2等分線の交点なので、
(a),(b)を連立方程式として解いた解となります。(b)を(a)に代入して
    x + 1 - 3/2 = -(1/3)(x - 3/2)  ∴x = 3/4    …(a')
(a')を(b)に代入して
    y = 3/4 + 1 = 7/4
よって中心はM(3/4, 7/4)となります。
後は半径を求めるだけです。半径は
    AM = √{(1 - 3/4)^2 + (7/4)^2} = √(50/16)
よって求める円の方程式は
    (x - 3/4)^2 + (y - 7/4)^2 = 50/16    …(答え)

2.
(1)
原点と点(-1, 2)を通る直線の方程式は
    y = -2x    …(a)
よって原点と点(-1, 2)の中点を通り直線(a)に垂直な直線は
    y - 2 = (1/2)(x + 1)    …(b)
円の中心は直線(b)と直線
    y = -x + 5    …(c)
の交点なので式(b),(c)を連立方程式として解くと、(c)を(b)に代入して
    -x + 5 - 2 = (1/2)(x + 1)  ∴x = 5/3   …(b')
(b')を(c)に代入して
    y = -5/3 + 5 = 10/3
よって中心はM(5/3, 10/3)。
半径は中心と原点O(0, 0)との距離なので
    OM = √{(-5/3)^2 + (10/3)^2} = √(125/9)
よって求める円の方程式は
    (x - 5/3)^2 + (y - 10/3)^2 = 125/9    …(答え)

(2)
A(0,1),B(1,8)とします。
直線ABの方程式は
    7x = y - 1, y = 7x + 1
これに垂直でABの中点(1/2, 9/2)を通る直線は
    y - 9/2 = -(1/7)(x - 1/2)
整理して
    y = -(1/7)x + 32/7
円の中心をM(x0, y0)とすると点Mはこの直線上の点なので
    y0 = -(1/7)x0 + 32/7    …(a)
    (但し第1象限なので、x0 ≧ 0, y ≧ 0)
点Mからx軸上に下ろした垂線の足を点Nとし、切り取られた線分をPQとすると
点N,Pの座標はN(x0, 0), P(x0 -3, 0)となります。
線分AMと線分PMはともに半径に等しいのでAM = PM(どこかで聞いたような…)、よって
    3^2 + y0^2 = x0^2 + (y0 - 1)^2
整理して
    x0^2 - 2y0 - 8 = 0    …(b)
式(a),(b)を連立方程式として解く事により円の中心の座標が得られます。
(a)を(b)に代入して
    x0^2 - 2{-(1/7)x0 + 32/7} - 8 = 0
整理して
    7x0^2 + 2x0 - 120 = 0
    (x0 - 4)(7x0 + 30) = 0
x0 ≧ 0 より
    x0 = 4    …(b')
(b')を(a)に代入して
    y0 = -(1/7)*4 + 32 /7 = 4
よって円の中心の座標はM(4, 4)と求まりました。半径は
    AM = √{(4 - 0)^2 + (4 - 1)^2} = 5
ゆえに求める円の方程式は
    (x - 4)^2 + (y - 4)^2 = 25    …(答え)

3.

    x^2 + y^2 = 4    …(a)
と直線
    x - y = 2√2 即ち y = x - 2√2    …(b)
との関係は、式(a),(b)からx, yのどちらかを消去して得られる2次方程式の判別式Dによって決まります。
即ち、D>0のとき2点で交わり、D=0のとき接し、D<0のとき共有点を持ちません。
(b)を(a)に代入して
    x^2 + (x - 2√2)^2 - 4 = 0
    2x^2 - 4√2x + 8 - 4 = 0
    x^2 - 2√2 + 2 = 0    …(c)
この判別式は
    D = (-2√2)^2 - 4*2 = 0
よって円(a)と直線(b)は接します。接点は(c)より
    (x - √2)^2 = 0  ∴x = √2    …(c')
(c')を(b)に代入して
    y = √2 - 2√2 = -√2
よって接点は(√2, -√2)    …(答え)

4.

    x^2 + y^2 = 4    …(a)
と直線
    y = mx + 4    …(b)
の関係はやはり判別式Dにより決まります。先にDを求めておきましょう。
(b)を(a)に代入して
    x^2 + (mx + 4)^2 - 4 = 0
    (1 + m^2)x^2 + 8mx +12 = 0
より
    D = (8m)^2 - 4*12(1 + m^2)
      = 16m^2 - 48
      = 16(m^2 - 3)
      = 16(m + √3)(m - √3)
(1)異なる2点で交わる場合
D>0となれば良いので
    -√3 < m, m < √3    …(答え)
(2)共有点が無い場合
D<0となれば良いので
    -√3 < m < √3    …(答え)

例によってミスがあったらゴメンナサイ。
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この回答へのお礼

とってもくわしく教えてくださってありがとうございました。

お礼日時:2001/08/08 22:33

再びume_pyonでございます。


先程の記述に誤りがございましたので訂正を。
2(1)y=5xでなく、y=-x+5でしたね。ってことは、中心座標は(a,-a+5)です。

また、2(2)はやっぱ計算がかなり難しいので解答を^^;
先程の条件から、以下の3つの式が得られる。
(1) a^2+(1-b)^2=r^2
(2) (a-1)^2+(8-b)^2=r^2
(3) 9+b^2=r^2


(1)-(2)よりr^2を消去して、
(4) a+7b-32=0
また、(1)-(3)よりr^2を消去して、
(5) a^2-2b-8=0
(4)*2+(5)*7より、
(6) 7a^2+2a-120=0
これをたすき掛けして因数分解すると、
(7a+30)(a-4)=0
a>0より、a=4

あとはお任せします。因数分解が難しいですよね。
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momoiさん、今晩は。



素晴らしい回答が寄せられていて嬉しくなりますね。
前回の回答の中に記述の誤りがありましたので訂正します。

1,(1)の説明の中で・・選択して2組の直線を描きます・・・の所は、・・・2組の線分を・・・の間違いです。

間違いましたので、もう1つヒントを差し上げます。
2,(2)これも1,(1)同様に垂直2等分線を式で定義します。
次に「x軸から長さ6の線分を切り取る円」に着目します。B>Aとして
円とx軸との交点を点a(A,0)、点b(B,0)とするとB-A=6が成立します。
この点a,bを結ぶ線分の垂直2等分線上に円の中心があります。
そして第1象限に円の中心があることを忘れないで下さい。

いろんな解法があると思います。私は絵を描いて解いていくのが好きです。
お陰で数式がやたら出来ますけどね。

頑張って下さい。
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この回答へのお礼

たくさんのヒントありがとうございました。

お礼日時:2001/08/08 22:36

前回の回答の中に記述の誤りがありましたので訂正します。



1,(1)の説明の中で・・選択して2組の直線を描きます・・・の所は、・・・2組の線分を・・・の間違いです。

間違いましたので、もう1つヒントを差し上げます。
2,(2)これも1,(1)同様に垂直2等分線を式で定義します。
次に「x軸から長さ6の線分を切り取る円」に着目します。B>Aとして
円とx軸との交点を点a(A,0)、点b(B,0)とするとB-A=6が成立します。
この点a,bを結ぶ線分の垂直2等分線上に円の中心があります。
そして第1象限に円の中心があることを忘れないで下さい。

頑張って下さい。
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ヒントを・・・



1.(1)は円の一般式、x^2+y^2+ax+by+c=0 (a、b、cは定数)に、各点を代入し連立方程式で、a、b、cを出します。
ざっと計算すると、x^2 + y^2 -x -5y+4=0 かな?

2.(1)は中心が分かってる場合の円の方程式の一般式を用います。
中心のx座標をt、とするとy座標は5-tなので半径をrとすると一般式は、
 (x-t)^2 + [y-(5-t)]^2 =r^2
となり、これが原点(0,0)と(-1,2)を通ることを満たすようにtとrを求めます。

2.(2)はようは円がx軸と2回交わるということで、その一つの座標を(k、0)とおくと、もう一つは(k+6,0)を通るということです。
つまり、求める円は、4点(0,1)、(1,8)、(k,0)および(k+6,0)を通ると言うことです。1.(1)の円の一般式に、これらを代入すると、a、b、c、kの4元連立方程式になります。式は4つ出来るので解けるはずです。

3.(1)は図を描きましょう。
円は、原点を中心に半径2の円ですね。
後は直線を書いてみましょう。

豆知識・・・一般に、

 x/a + y/b =1

という形で表される直線は、x軸の(a、0)という点と、y軸の(0,b)を通る直線です(もちろん、aもbも0ではないのが条件です)。
したがって、今回の直線の場合は、

 x/(2√2) + y/(-2√2) = 1

と表せますので、二点(2√2,0)、(0,-2√2)を通る直線と言うことになります。

さて、図を描くと円と直線は一転で接しますね。
これはわざわざ方程式を解かずとも、図形問題として、接点は(√2,-√2)であることがわかります・・ね?(大丈夫ですか??)

4.も3.の応用として図を書くことでも解けると思いますが、点と直線の距離を求めるヘッセの公式がありますよね?
4.(1)では異なる2点で交わることから、円の中心と直線の距離の絶対値は半径2未満である、ということから得られます。
4.(2)では、交わらないということから円の中心と直線の距離の絶対値は2より大きいということになります。
・・・・ヘッセの公式は習いますよね???
習わないのであれば・・・他の人の解法がいいのかな・・
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この回答へのお礼

たくさんのヒントどうもありがとうございました。ヘッセの公式はたぶん習ってないと思います。

お礼日時:2001/08/08 22:44

やはり私もヒントだけ。



まず、円の方程式の考え方の鉄則。
その1
『円の方程式といったら、(x-a)^2+(y-b)^2=r^2あるいはx^2+y^2+lx+my+n=0を使って解け。
3点が与えられている場合は後者、それ以外はたいてい前者を用いる。』
その2
『共有点といってまず考えるのは、2つの式を連立せよ。その結果できあがる二次方程式に
ついて、判別式Dを考えよ。それが、D>0なら共有点は2個、D=0なら1個、D<0なら0個。』

とまあ、鉄則だけならこのくらいです。これだけを頭に入れれば、大抵の問題はできます。
要は、どうやってこの鉄則に帰着させるかってことです。そればかりは問題慣れをするしか
ありません。


1.
多分教科書には載っていると思うのですが。私がかつて使用していた学校指定の教科書には
載っていましたよ。
一般に、3点が与えられていて、それから円の方程式を求めるには、
x^2+y^2+lx+my+n=0
という一般式に代入すれば解けます。
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
でも解けますが、これでは計算が難しくなります。


2.
(1)要は、円の方程式
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
をどう考えるかです。それが円の方程式を解く一番のポイントです!

この場合、中心がy=5xの上にあるのですから、中心座標は(a,5a)となるはずですよね。
ってことは、b=5aですよね。あとは残る2点を代入して連立方程式を解けばよいのです。


(2)これは応用問題で、多少頭を使わないとできませんね。そこで、どこに目をつけるかを
考えます。まず、2点が与えられている時点で、これらを円の方程式に代入すれば、2つの式が
できますよね。
次に長さ6をどう使うか。だったら、実際に図を書いてみましょう。図を書くのは、関数の問題の
大鉄則です!!

そこで、実際に中心からx軸に垂線を下してみましょう。そうすると、斜辺がr、底辺が3、
高さがbの直角三角形が作図できますよね。「直角三角形」といえば?これにより、
合計3つの式ができます。あとはそれらを連立して解けばよろしいです。
なお、この連立方程式は多少骨が折れる計算ですので要注意。ヒントは、r^2を消去して
計算することです。そうすると、なんとか計算ができます。

ちなみに、これに関してはたしかもっとよい解き方があったような気がしますが、
忘れちゃいました。スイマセン。


3.
「交点(共有点)を求めよ」=「連立方程式を解け」
これだけです。そうすると、y=x-2√2より、おそらく
x^2-2√2x+2=0
という二次方程式ができあがると思います。これを解の公式で解いてみて下さい。


4.
「共有点といえば、判別式Dを思い浮かべよ!!」これが鉄則。
判別式D=b^2-4ac>0なら、共有点は2個、D=0なら1個、D<0なら0個です。本問の場合、
連立方程式で解くと、
(1+m^2)x^2+8mx+12=0
という二次方程式が得られます。a=1+m^2,b=8m,c=12です。

(1)共有点が2個←→D>0
これを解けばよいのです。
ちなみに、二次不等式の解き方は覚えていますか?わからなければ補足して下さい。多分、
他の方が計算して下さると思いますが^^;

(2)省略します。(1)ができれば(2)もできるでしょう。


ここで、「共有点とは何ぞや?」と思われましたら、以下をお読み下さい。
試しに、
ax^2+bx+c=0
という二次方程式の解について考えましょう。
x=(-b+√(b^2-4ac))/2,x=(-b-√(b^2-4ac))/2,

という2つの解ができますよね。関数においては、この解が共有点、つまり交点ですよね。
じゃあ、このxの値について考えてみましょう。ポイントはルートの中身です。
もし、ルートの中身が0だったら、xの解って1つだけですよね。計算してみれば一目瞭然です。
また、ルートの中身がマイナスってことはありえないはずです。だって、それがルートの
定義でしたからね。(複素数を無視すれば)ってことは、この状態では解がないのです。

で、このルートの中身b^2-4acって何か?これがまさしく判別式Dに相当するのです。
だから、もし「共有点の座標を求めよ」という問題でなく、共有点の数を調べよ、といわれたら、
単にこのルートの中身、つまり判別式Dを考えればよいのです。
いってしまえば、判別式Dとは、「解の数を判別する式」なのです。
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momoiさん、こんばんは。



全部をこの場で回答するのは大変ですので、ヒントだけ少しばかり書いておきますね。
1,(1)3点の中から2点を選択して2組の直線を描きます。その線に対する垂直2等分線をY=AX+B、Y=CX+Dの連立方程式にすればX,Yが求められます。
そこが円の中心です。後は簡単ですよね。
2,(1)中心を(A,B)と仮定してそこから原点、及び点(-1,2)迄の距離を式で表し、その2つの式の値が同じ(同距離)になったところが円の中心です。

残りは他の方にアドバイスを貰って下さい。
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もちろん、為替を先見を正確に
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Aベストアンサー

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怖いものしらずです。
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y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

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{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
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うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

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これが間違え.
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あとは定義にしたがって,
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v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

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豪ドル/円のよい為替情報サイトありませんでしょうか。

ここ数日、豪ドル/円が円安気味です、
本日は豪の経済消費者指数がよい発表があったようです、
そのためなのか、円安更新中です。

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一応、
http://www.bk.mufg.jp/rept_mkt/gaitame/index.htm
ここの今月の為替相場見通し、今週の為替相場見通しで月間、週間の予想レンジが見られます(内容はかなりアバウトですが)。
後、パートナーズFXに口座を開くと、毎日だいまん氏のレポートが見られるようです。
僕が知ってるのはこれくらいです。

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クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

 ★x+y+z=0,2x^2+2y^2-z^2=0のとき,x=yであることを証明せよ。

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Q(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点

(1)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線3x+y+10=0が共有点をもつとき、rの値の範囲を求めなさい。
(2)円x^2+y^2=18と直線y=x+mが共有点をもつとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(3)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線4x-y+17=0が異なる2点で交わるとき、rの値の範囲を求めなさい。
(4)円x^2+y^2=5と直線y=3x+mが接するとき、定数mの値の範囲を求めなさい。
(5)半径rの円x^2+y^2=r^2と直線x-3y-10=0が共有点を持たないとき、rの値の範囲を求めなさい。

解き方含め教えてください!!
お願いします。

Aベストアンサー

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ場合です。このとき判別式DはD>0となります。
他の考え方は一緒です。
4x-y+17=0を変形してx^2+y^2=r^2に代入し、その2次方程式の判別式DをD>0として計算するだけです。

(4)
接するとき、つまり重解をもつ時です。この時判別式DはD=0となります。

(5)
共有点を持たないときは、実数解をもたないときになります。
D<0ということです。


長くなりましたが、判別式の使い方さえ把握していれば全部同じ考え方で解ける基本問題ですね。

(1)
共有点を持つ、つまり実数解をもつということです。
実数解をもつということは、判別式DがD≧0となればよいのは分かりますね?
さて、何と何が実数解をもつかというと、x^2+y^2=r^2と3x+y+10=0ですね。
3x+y+10=0をy=-3x-10と変形して、これをx^2+y^2=r^2に代入して、xの2次方程式にしてD≧0を計算すればいいわけです。

(2)
同様に考えましょう。
y=x+mをx^2+y^2=18に代入してxの2次方程式にして、D≧0を計算すればmの値の範囲が分かるはずです。

(3)
異なる2点で交わる。つまり重解を持たずに実数解をもつ...続きを読む

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為替相場(円/ドル)について、これから年末にかけてどう動くか、あなたの予想とその理由を教えてください。

Aベストアンサー

日銀は年内中は政策金利を現状維持するとのうわさがあります。真に受けるとすれば、外国の金利政策が影響を与えてくるでしょう。チラッと見たニュースですとアメリカFRBは次の利下げをいつするかということに関心が向けられているそうです。そうすると、日本の政策金利とアメリカの政策金利の差が縮まるので円高に振れそうですが、前回の例でアメリカの政策金利引下げを歓迎しドル買われました。今回もそのような現象とまでは行かないにしても、極端な円高に振れることは少なくともないと思います。

政策金利以外にも円キャリートレードの再燃もありえるので、円高要素自体は総合的に見ると少なそうに思います。

よって、日米の為替レートは現状~円安という感じになるでしょう。

なお、私ど素人の意見なので、ご参考までということでご了承ください。

Q∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}

∫∫【D】2x|y|dxdy, D={x^2+y^2≦1,x^2+y^2≦2x}
という重積分について質問です。∫∫【D】2x|y|dxdyと∫∫【D】2xydxdyってどう違いますか?

この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど、理屈としては、y座標が負になっている部分をx軸に関して折り曲げた結果として、図形がx軸に関して対称だったために、y座標が正の部分を2倍することになったと考えればよいのでしょうか?
言葉が下手で、伝わりにくい文章ですみません。

Aベストアンサー

>この場合では、領域がx軸に関して対称だから、前者の場合も後者の場合もたまたま答えが同じになるけれど

本当にそうなります?
2xyはyについて奇関数、2x|y|はyについて偶関数です。
前者をx軸について対称な領域で積分すると"0"に、後者を同じ領域で積分するとx軸よりも上側の領域での積分の2倍になります。

Q為替相場(円/ドル)についての質問

為替相場(円/ドル)について、これから年末にかけてどう動くか、あなたの予想とその理由を教えてください。

Aベストアンサー

季節的な要因から米ドルは年末から上昇する傾向が強いです。問題は、アメリカの政策金利が緩和方向にあって、金利イールドカーブが逆ザヤ状態になっているため、対日本円でも金利差からみるとそれ程魅力はないです。ユーロの動向次第では120円台の定着が困難になるように予想します。

Q¢直線y=mxが円(x-2)^2+(y-1)^2=1と2点で交わるとき

¢直線y=mxが円(x-2)^2+(y-1)^2=1と2点で交わるときのmの範囲として正しいものは,次のうちどれか?£

¢[解説] 直線の方程式を円の方程式に代入して整理すると、(1+m^2)x^2-2(2+m)x+4=0。この2次方程式が、異なる2つの実数解を持てばよいので、判別式をDとするとき、D/4=(2+m)^2-4(1+m^2)>0となる。これより、m(3m-4)<0 ゆえに0<m<4/3£

「判別式をDとするとき、D/4=(2+m)^2-4(1+m^2)>0となる。」が理解できません。説明をお願いします。

Aベストアンサー

#1です。

判別式を導出するのは、解の公式や 2次関数の問題を考える上でもポイントになります。

ax^2+ bx+ c= 0
この 2次方程式において、「平方完成」をさせます。
a(x^2+ b/a* x)+ c= 0
a{ x+ b/(2a) }^2+ c= b^2/(4a) (両辺に b^2/(4a)を加えて、平方完成させる)
{ x+ b/(2a) }^2+ c/a= b^2/(4a^2)
{ x+ b/(2a) }^2= (b^2- 4ac)/(4a^2)

この式を x=・・・の形に解き進めると「2次方程式の解の公式」になります。
x= { -b±√(b^2- 4ac) }/2a

この√の中が
・0より大きければ、実数解が 2つ
・0ならば、実数解は 1つ(重解)
・0より小さければ、実数解はなし

となって、b^2- 4acが「判別式」と呼ばれます。

「完全平方」を使って「解の公式」が導き出せれば、判別式も導き出せます。^^


点と直線の距離を使う方法もありますが、共有点を持つという条件からは同じです。
この解法も場合によっては簡単になる場合もあるので、押さえておいた方がいいですね。^^

#1です。

判別式を導出するのは、解の公式や 2次関数の問題を考える上でもポイントになります。

ax^2+ bx+ c= 0
この 2次方程式において、「平方完成」をさせます。
a(x^2+ b/a* x)+ c= 0
a{ x+ b/(2a) }^2+ c= b^2/(4a) (両辺に b^2/(4a)を加えて、平方完成させる)
{ x+ b/(2a) }^2+ c/a= b^2/(4a^2)
{ x+ b/(2a) }^2= (b^2- 4ac)/(4a^2)

この式を x=・・・の形に解き進めると「2次方程式の解の公式」になります。
x= { -b±√(b^2- 4ac) }/2a

この√の中が
・0より大きければ、実数解が 2つ
・0なら...続きを読む


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