出産前後の痔にはご注意!

∫∫D exp(x^3) dxdy
D: √y<x<1 、0<y<1
という重積分を解こうとしています。

最初に、xで置換積分しようとするのですが
ここでどうすれば良いかがわからなくなってしまいます。

途中計算を教えていただけないでしょうか?
ご教授よろしくお願いします。

A 回答 (1件)

x, y 平面上の図で考えて、D の表示を


D = { (x,y) | √y < x < 1, 0 < y < 1 }
 = { (x,y) | 0 < y < x^2, 0 < x < 1 }
と変換すれば、

∬[D] exp(x^3) dxdy
= ∬[D] exp(x^3) dydx
= ∫[0<x<1] { ∫[0 < y < x^2] exp(x^3) dy } dx
= ∫[0<x<1] exp(x^3) { ∫[0 < y < x^2] dy } dx
= ∫[0<x<1] exp(x^3) { x^2 - 0 } dx
= [ (1/3)exp(x^3) ]_(x=0,1)
= (1/3)exp(1^3) - (1/3)exp(0^3)
= (e - 1)/3.
と計算できます。

先に x で積分しようとすると
途中で出てくる関数がたいへんなものになります。↓
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB+ …
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