この二重積分なんですが、範囲がx>-0,y>-0,x^2+y^2>-1となっていて、図にするとXY平

この二重積分なんですが、範囲がx>-0,y>-0,x^2+y^2>-1となっていて、図にするとXY平面の第一象限かつ半径が1の円の外側ということになるのでしょうか？
また積分手順は1<-x^2+y^2<-n(n≠0)とした上で、x,yをx=rcosθ、y=rsinθとおいて、積分範囲を新たに
0<-θ<-π/2と1<-r<-ｎとして計算をして、最後にlim[ｎ→∞]としたのでいいのでしょうか？このように計算すると答えは1/4eになりましたが合っているのでしょうか？分かる方教えて下さいm(_ _)m

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/03/28 14:23

積分範囲の把握はそれでok.

計算方法も、答えもそれでok.
答えは e/4 じゃなく 1/(4e) ですね。

ちょっと気になるのは、その計算方法に持ち込んでいいことの保証かな。
問題の重積分を dx dy に沿って反復積分に書き換えると、
∬[x≧1,y≧1,x^2+y^2≧１] f(x,y) dxdy
= ∫[0≦y≦1] ∫[√(1-y^2)≦x] f(x,y) dx dy + ∫[1≦y] ∫[0≦x] f(x,y) dx dy.
右辺第二項は、広義積分を反復しているので
収束性を二重極限として考える必要があります。
yの上限→∞ と xの上限→∞ の順序を換えたら
収束性が保たれるとは限らないし、収束したとしても
値が同じになるとは限らない。
まして、変数変換など行ったら...

変数変換後の広義積分が収束したとしても、それが
もとの積分が収束する根拠にはならないのです。
問題の積分が反復積分でなく重積分として収束していれば、
すなわち、広義積分のための極限が単なる lim の反復でなく
二重極限として収束することが判っていれば、
変換後の極限の値がもとの極限と一致することは自明です。

では、もとの積分の収束をどうやって言ったらいいかと言うと、
今回の積分は被積分関数が常に正値なため、積分の収束について
単純収束と絶対収束が同値。よって積分順序の交換や変数変換をしても
収束性も値も変わらないのでした。

...というような話は自明だから敢えて書かずに計算だけ示したのか、
そのような問題があることに気づかず計算だけしてしまったのか、
実際どちらなのかという問題と、
答案の場合、採点者がどちらに解釈するかという問題があるでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございましたm(_ _)m
問題に気づかず計算してしまいました…

お礼日時：2020/03/28 17:43

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2020/03/28 09:31

当方ならば・・

J = lim(R➝∞)∫[1,R]rdr∫[0,π/2]{f(rcosθ,rsinθ)}dθ　　f(x,y)=xyexp(-x²-y²)/(x²+y²) (R∈ℝ)
= e/4

とでもする・・!
計算結果は合ってると思う・・!