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たかだか可算集合の部分集合はたかだか可算集合である。これを証明するのに選択公理は必要ですか?
写真の証明では選択公理を使っていませんが良いのですか?

「たかだか可算集合の部分集合はたかだか可算」の質問画像

A 回答 (1件)

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11537108.html
↑の続きですか。

そもそもその文献の証明が不必要に長いと思うのだけれど、
可算性の定義が違うのかな?

集合 S が高々可算であるとは、全自然数の集合 N について
S から N への単射が存在することを言う。
S から N への単射のひとつを f、
S の部分集合 H から S への自然な埋め込みを g とすれば、
合成写像 f○g は H から N への単射となる。
よって、H は高々可算である。

自然な埋め込みとは、x∈H に対して g(x)=x∈S とする写像のこと。
f は証明の前提として存在が仮定されているし、
g は具体的に構成が示されているので、
この証明に選択公理が登場する余地は無い。
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