数学I この問題が分かりません。答えは2√2になっていました。なぜ-2√2xでは間違いなのですか？解

数学I

この問題が分かりません。答えは2√2になっていました。なぜ-2√2xでは間違いなのですか？解説お願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/29 17:32

|x|<1⇔-1<x<1になる理由

数直線をイメージです
絶対値と言うのは数直線上で　原点（O)からの距離を意味しますから
|x|<1ということは　位置xにある点と原点との距離が1未満という意味になります
数直線の右側では　点がx=0.000001の位置でも0.5でも、0.9999999の位置にあるときでも、いずれも原点からの距離は１未満ですが
x=1になった瞬間から　距離は１となりますので　距離１未満であるためにはｘは1未満でないといけません　→　よってx<1

同様にして　数直線の左側ではx=-0.999999までなら　原点との距離1未満ですが、x=-1からは距離１以上です　ゆえに-1<x
合わせて　-1<x<1です
これが理解できたら機械的に　|x|<1⇔-1<x<1　が結びつくように記憶しておくことです・・・回答スピードUPのために

この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます。
とても分かりやすかったです。理解できました。

お礼日時：2020/03/29 17:52

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/29 16:50

No.2 です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞|x|<1⇔-1<x<1になる理由がわかりません。

ええっ？　「絶対値」ですよ？

いまさらながらやってみれば、「右向きの矢印」は
|x| < 1 のとき、絶対値の定義より 0≦|x|<1 ということなので、両辺を2乗しても不等号の向きは変わらず
　0 ≦ |x|^2 < 1
|x|^2 = x^2 なので
　0 ≦ x^2 < 1
これより
　x^2 - 1 < 0
→　(x - 1)(X + 1) < 0
よって
　-1 < x < 1


#2 に書いたように、|A| は中身の A の正負に係らす常に「正または 0」ですから、
・A>0 なら |A| = A (>0)
・A<0 なら |A| = -A (>0)
・A=0 なら |A| = A = -A = 0
ということになります。

これを使えば、「左向きの矢印」は
・0≦x<1 のとき |x| = x ですから 0≦|x|<1
・-1<x≦0 のとき |x| = -x ですから
　0≦-x<1 より 0≦|x|<1
両方を合わせて
　-1<x<1 のとき 0≦|x|<1
絶対値の定義から 0≦|x| は当たり前なので、こちらは通常書きません。つまり
　-1<x<1 のとき |x|<1

この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます。
細かい解説分かりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2020/03/29 17:53

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/03/29 15:38

y = √(2x^2 - 4x + 2) + √2 |x + 1|

ですか？

これは
　y = √2 [ √(x^2 - 2x + 1) + |x + 1| ]
　　= √2 { √[(x - 1)^2] + |x + 1| }

ここで
　|x| < 1
つまり
　-1 < x < 1
なので
　x - 1 < 0
　x + 1 > 0
であることから
　y = √2 { -(x - 1) + x + 1 }
　　= 2√2 { -(x - 1) + x + 1 }
　　= 2√2

ここで
・A>0 なら √A^2 = A, |A| = A
・A<0 なら √A^2 = -A (>0), |A| = -A (>0)
ですので、念のため。

この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます。
|x|<1⇔-1<x<1になる理由がわかりません。
解説してくださると嬉しいです。お願いします。

お礼日時：2020/03/29 16:16

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/29 15:33

√(2x²-4x+2)=√{2(x²-2x+1)}=√2・√(x²-2x+1)

＝√2・√(x-1)²
ここでルートをはずす時は要注意
参考例として、√2²=２は正しいですが
√(-2)²=-2は間違いです
というのも、√(-2)²=√4=2だから
このようにルートの中身が(マイナスの数）²　
となっているときは　そのままルートを外してしまうとプラスマイナスが矛盾してしまうので、マイナスを新たに付け加えて
√(-2)²=-(-2)=+2 というような補正が必要となります

今回は|x|<1⇔ｰ1<x<1だから
-1-1<x-1<1-1⇔-2<x-1<0であるので　マイナスバージョンに該当します
√(x-1)²=(x-1)というように　ルートをそのまま外すことはできず補正が必要で
√(x-1)²=√(マイナスの数）²=-(x-1)=ｰx+1となります
∴(2x²-4x+2)＝√2・(ｰx+1)

次に|x+1|について
ｰ1<x<1の全体に+1をして、0<x＋１<2ですから　絶対値の中身はプラスです
よって絶対値はそのまま外すことができて
|x+1|=x+1
∴√2|x+1|=√2(x+1)

以上のことから
√(2x²-4x+2)＋√2|x+1|=√2(ｰx+1)＋√2(x+1)＝ｰ√2x+√2+√2x+√2=2√2となるのです

質問者さんはルートの外し方のところで間違ったようですね

この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます。
根号についての外しかたの間違いはわかったのですが|x|<1⇔-1<x<1になる理由がわかりません。解説お願いします。

お礼日時：2020/03/29 16:12