ランダウリフシッツ理論物理学、力学

ランダウの力学（ｐ６）を読んでいるものです。しばらく自分で考えたのですが、わからないので、質問させてください。

画像に関して、自由に運動してる質点に関して、ラグランジアンから空間と時間の一様性を用いて慣性の法則を導くところです。
オレンジ下線部分ｖ＝const（これは速度が一定、定ベクトルという意味）が①Ｌはｖ＾２（速さの2乗）の関数で、②∂Ｌ/∂ｖ＝const(Lをｖｘ、ｖｙ、ｖｚでそれぞれ微分した成分からなるベクトル）、③∂Ｌ/∂ｖが速度だけの関数という情報から導かれるのがピンときません。何をやっているのでしょうか？

No.1 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2020/03/30 07:35

質問の意味を勘違いしていたら御免なさい。

私が汲み取った意味での質問でしたら、
質問者さんの”考えすぎ”でしかないと思います。
つまり、∂L/∂v=const で「速度だけの関数」ですから、
f(v)=∂L/∂v として、f(v)=const だから、vはある一つの値が代入されているはずです。
もちろん、普通だったら、x,y,z の値で関数の値が決まるなら、それは曲面を表す事になりますが、
今は、ベクトルで、たとえば、x成分だけ見ると、(∂L/∂vx)=k(一定値)　ですから、
g(vx)=∂L/∂vx=k と一つの値k はvx だけで決まってしまいます。
y,zも同様なので、したがって、v=const です。
つまり、”vが一定になる”というよりは、∂L/∂vがある決まった値になるんだから、
vにある決まった値が代入されているはずだよね、って事です。

質問の意味が違った場合は、ご容赦下さいm(_ _)m

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2020/03/31 03:10

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/03/30 10:28

<・>をベクトルとする。

∂L/∂<v>=<Const.> → <∂L/∂vx, ∂L/∂vx, ∂L/∂vx>=<Const.>

すると L=L(v²), v=√(vx²+vy²+vz²) なので、
∂(v²)/∂vx=2v(vx/v)=2vx
となるから、

∂L(v²)/∂vx=(dL(v²)/d(v²)){∂(v²)/∂vx}=2(dL(v²)/d(v²))(vx)
となる。vy,vzについても同様で
(∂L/∂<v>)=2(dL(v²)/d(v²))<v>=<Const.>
をえる。

Lはtを含まないから、上式をtで微分すると
(d/dt)(∂L/∂<v>)=2(dL(v²)/d(v²)) (d<v>/dt)=0

したがって、dL(v²)/d(v²)≠0 とすると
d<v>/dt=0 → <v>=<Const.>

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/03/30 22:34

#2において、dL(v²)/d(v²)が tに対して定数としたが、その根拠を示す。

dL(v²)/d(v²)<v>=<Const.>
において、 f(v²)=dL(v²)/d(v²) とおく。

すると
f(v²)<v>=<Const.>・・・・・①
となる。この両辺の内積を取ると
f(v²)²v²=Const.
となり、左辺は v²のみの関数だから、v²=Const. を得る。これを tで微分すると
dv/dt=0・・・・・②
を得る。

①をtで微分すると
f'(v²)2v(dv/dt)<v>+f(v²)d<v>/dt=0
②から
f(v²)d<v>/dt=0
を得る。f(v²)≠0 とすると

d<v>/dt=0 → <v>=<Const.>

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2020/03/31 03:10