減衰振動での積分定数の求め方がわからない

質量mの質点をばね定数kのばねにつるして水中に入れる。この質点の釣り合いの位置からaだけ下にひいて静かに手を放すとき、そのあとの運動を求めよ。
ただし質点には速度vに比例した抵抗力f=-2mrvが働くものとし、r<ω0 = √(k/m)とする。

という問題で、

x = A*sinΦ = a かつ v = -r*A*sinΦ + ω*A*cosΦ = 0
となり、
任意定数Aが A = a*√{ 1+(r/ω)^2 }, ω=√(ω0^2 - r^2) となるらしいのですが、
どのように導出すれば良いかがわかりませんでした。

どのように積分定数を導出するのか教えていただけないでしょうか？

ご教授よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2020/03/31 23:57

xを釣り合い位置からの変位とすると

F=m(d^2/dt^2)x=-kx-2mr(d/dt)x
(d^2/dt^2)x + 2r(d/dt)x + (k/m)x=0

この微分方程式を解けばokです。
これは減衰振動なので、質問の中の式のような
時間を含まない妙な式にはなりません。
#多分t=0での境界条件でx(0)、v(0)の間違い。

微分方程式に
x=Ae^(-bt)sin(ωt+φ)
x(0)=a, v(t)=dx/dt で v(0)=0
を突っ込んで、A、b、φを求めてもよいし
私ならラプラス変換で解きます。

後は手を動かすだけです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/03/31 23:33

なんかの微分方程式になってるだろうから, その微分方程式の (この場合はたぶん初期) 条件から導出する.