画像の式をインテグラルにした場合1/(z-1)×和の式は2πiとでるようですが、2πiを導くまでの過

画像の式をインテグラルにした場合1/(z-1)×和の式は2πiとでるようですが、2πiを導くまでの過程の式を教えて頂けないでしょうか？

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/01 22:19

話が戻ってる気がするけど、

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11551002.html
↑この範囲は解ったのかねえ？

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11556496.html
↑こっちでの計算で
f(z) = { 1/(2(z-1)) } Σ[n=0→∞] (-(z-1)/2)^n
= Σ[k=-1→∞] { -(-1/2)^(k+2) } (z-1)^k
となるが、この式を
『z=1 を中心とした十分小さな領域の境界上で』周回積分すると
∮ f(z) dz = Σ[k=-1→∞] { -(-1/2)^(k+2) } ∮ (z-1)^k dz.

k = -1 のとき ∮ (z-1)^k dz = 2πi,
k ≧ 0 のとき ∮ (z-1)^k dz = 0 だから、
∮ f(z) dz = { -(-1/2)^(-1+2) } 2πi = πi.
答えは 2πi ではないね。