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画像の2つの式を複素数積分?すると2πiを含む式が得られ留数がわかるそうなのですが、2πiを含む式を導くまでの過程の式がわかりません。教えて頂けないでしょうか?

「画像の2つの式を複素数積分?すると2πi」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • もう一問、
    ∮(1/z )dzから2πiを含む式に導いて欲しいのですが、
    過程の式を教えてください。

      補足日時:2020/04/03 18:32
  • ありものがたりさんありがとうございます。
    読ませて頂いたのですが、うまく理解できませんでした。
    すいません。
    最初の2問に関しても解き方を教えて頂けて嬉しいのですが、出来れば過程の計算を教えて頂けないでしょうか。

      補足日時:2020/04/03 20:12
  • ちなみになぜ、以下について
    この円周は z = re^(iθ), 0≦θ<2π とパラメータ表示できるから、
    ∮(1/z )dz = [ log z ]_(θ=0→2π)
    = [ (log r) + iθ ]_(θ=0→2π)
    とした後、引き算が現れたのでしょうか?
    = { (log r) + i・2π } - { (log r) + i・0 }
    = 2πi.

      補足日時:2020/04/03 22:22

A 回答 (3件)

この人は、つまみ食いじゃなくて、


注文したまま食わずに帰宅して
それでもまた来店するからなあ...
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だから,ここでつまみ食いするんじゃなくて,一冊まともな本をお読みなさい。

誘導から何から全部書いてありますから。ポールの意味も。
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前半については、こちら↓で回答済み。

読んだ?
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/11556748.html
読んだのなら、「複素数積分?すると」が
もう少し数学っぽい言葉で書けるはずなんだけどな。

補足質問については、前回も前々回もその部分は書かなかったので、
書いてみようか。
1/z を、原点を中心とする半径 r の円周上で周回積分する。
この円周は z = re^(iθ), 0≦θ<2π とパラメータ表示できるから、
∮(1/z )dz = [ log z ]_(θ=0→2π)
= [ (log r) + iθ ]_(θ=0→2π)
= { (log r) + i・2π } - { (log r) + i・0 }
= 2πi.

質問の二つの f(z) で、下のほうを積分するときには
この ∮(1/z )dz = 2πi がそのまま使えるし、
上のほうを積分するときには
w = z-1 とか変数変換して考えればいい。
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