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y ′′ + y = 2x^2 + 1 + c o s x 1
(1)微分方程式 y′′ + y = 0 の一般解を求めよ.
(2)微分方程式の特殊解を求めよ.
(3)微分方程式の一般解を求めよ.

⑴は分かったのですが特殊解をどのように求めたらいいかわからないです。詳しく教えてください。

質問者からの補足コメント

  • cosx です。打ち間違えました。

      補足日時:2020/04/11 20:13

A 回答 (2件)

微分方程式の特殊解は、解くというより、いくつかのパターンから試行錯誤あるいは勘で見つけ出す。



y''+y=2x^2 + 1 + cosx

y=Ax^2 + B + Cx(sinx) + Dx(cosx)とする(A,B,C,D:実数)と、
y'=2Ax + Csinx + Cx(cosx) + Dcosx - Dx(sinx)
y''=2A + Ccosx + Ccosx - Cx(sinx) - Dsinx - Dsinx - Dx(cosx)
=2A + 2Ccosx - 2Dsinx - Cx(sinx) - Dx(cosx)

y''+y=2A + 2Ccosx - 2Dsinx - Cx(sinx) - Dx(cosx) + Ax^2 + B + Cx(sinx) + Dx(cosx)
=Ax^2 + (2A+B) + 2Ccosx - 2Dsinx

係数比較より、
A=2
2A+B=1
2C=1
2D=0

A=2, B=-3 C=1/2, D=0

上記より(2)の特殊解は、y=2x^2 - 3 + (1/2)x(sinx)

(3)の一般解は(1)のy''+y=0の一般解と(2)の特殊解を足したものになる。
y''+y=0の一般解は、y=C1sinx + C2cosxなので、求める一般解は、

y=2x^2 - 3 + (1/2)x(sinx) + C1sinx + C2cosx
(C1,C2:積分定数)

となる。
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c o s x 1 って何じゃい?

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