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⇒という記号は、条件C₁(x)、C₂(x)があり{x|C₁(x)}⊂{x|C₂(x)}である時に、C₁(x)⇒C₂(x)と使う記号であるという理解で良いでしょうか?

A 回答 (5件)

>x=a⇒x²=a²は∀xがなくても


>∀x,x=a⇒x²=aが真の命題であるように使われているような気がするのですが
>省略されているどいう事でしょうか?

省略されていると考えたほうが無難だと思います。
証明論の流儀によっては、そうでない場合もあるのですが、
数学基礎論に踏み込むのでなければ、
日常の数学においては、そこには ∀ が省略されていると見るべきです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました!
参考になりました!

お礼日時:2020/04/13 09:52

>C₁(x)⇒C₂(x)だけではどういう意味なのでしょうか?



どういう意味も何も、C₁(x)⇒C₂(x) は C₁(x)⇒C₂(x) という意味なんだけどな。
それ以上でもそれ以下でもない。
あるいは、(¬C₁(x))∨C₂(x) という意味だと言ってもいいか。
⇒ は、通常そのように定義されます。

S⊂T という記号のほうに ∀x,x∈S⇒x∈T という意味があるから、
{x|C₁(x)}⊂{x|C₂(x)} は ∀x,x∈{x|C₁(x)}⇒x∈{x|C₂(x)} であり、
すなわち ∀x,C₁(x)⇒C₂(x) でもあります。


C₁(x)⇒C₂(x) と ∀x,C₁(x)⇒C₂(x) の違いを理解するには
意味で考えるよりも、∀x,C₁(x)⇒C₂(x) は命題であり、
C₁(x)⇒C₂(x) は命題ではなく述語であることを理解したほうがいいでしょう。
∀x,C₁(x)⇒C₂(x) は C₁, C₂ が具体的に与えられれば真偽の判定できる論理式だが、
C₁(x)⇒C₂(x) は x の値ごとに真偽が変わるので、命題ではありません。
参考↓
http://math.dge.toyota-ct.ac.jp/katsutani/text/f …
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この回答へのお礼

述語と条件は同義語と考えて問題ないでしょうか?
⇒が例えば,x=a⇒x²=a²は∀xがなくても
∀x,x=a⇒x²=aが真の命題であるように使われているような気がするのですが省略されているどいう事でしょうか?

お礼日時:2020/04/12 20:43

ほぼいいんだけど、ちょっと惜しい。


{x|C₁(x)}⊂{x|C₂(x)} であることを表す論理式は、
C₁(x)⇒C₂(x) ではなく ∀x,C₁(x)⇒C₂(x) です。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
C₁(x)⇒C₂(x)だけではどういう意味なのでしょうか?

お礼日時:2020/04/12 19:07

理解はそれで良いです


C₁⊂C₂ のとき
C1の中に含まれるxなら、必ずC2の中に含まれることになるので
C₁⇒C₂ です。
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『pならばq(p⇒q)』が成立するとき、『qはpであるための必要条件である』

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