二重積分がわかりません この考え方で、どこが間違えでどのように考えたらいいのかを教えてください 困っ

二重積分がわかりません
この考え方で、どこが間違えでどのように考えたらいいのかを教えてください
困っています

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2020/04/14 23:11

領域Rの捉え方が間違っている。

x=0, y=0, y=3x+6で囲まれる三角形なので、

xを先に積分する場合は(y-6)/3≦x≦0, 0≦y≦6、
yを先に積分する場合は-2≦x≦0, 0≦y≦3x+6

が積分区間となる。

xを先に積分する場合：
∫[0, 6](∫[(y-6)/3, 0](y - 2x)dx)dy
=∫[0, 6](yx - x^2)[(y-6)/3, 0]dy
=∫[0, 6](-y(y-6)/3 + (y-6)^2/9)dy
=∫[0, 6]((-y^2 + 6y)/3 + (y^2 - 12y + 36)/9)dy
=∫[0, 6]((-2/9)y^2 + (2/3)y + 4)dy
=((-2/27)y^3 + (1/3)y^2 + 4y)[0, 6]
=-16+12+24
=20

yを先に積分する場合：
∫[-2, 0](∫[0, 3x+6](y - 2x)dy)dx
=∫[-2, 0]((1/2)y^2 - 2xy)[0, 3x+6]dx
=∫[-2, 0]((9/2)(x+2)^2 - 6x(x+2))dx
=∫[-2, 0]((9/2)(x^2 + 4x + 4) - (6x^2 + 12x))dx
=∫[-2, 0](-3/2)x^2 - 8x + 4)dx
=((-1/2)x^3 - 4x^2 + 4x)[-2, 0]
=-4+16+8
=20

今回の問題の場合、yから積分するほうが計算が楽。
重積分は計算する順番によって計算の難易度が変わる。
（順番によっては積分が事実上できないこともある）

この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございます
とても助かりました。

お礼日時：2020/04/15 07:33