極限について 画像の式が成り立つのはなぜですか？ 多項式<<指数関数 だからですか？

極限について
画像の式が成り立つのはなぜですか？
多項式<<指数関数 だからですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/04/14 23:57

手書きの式がひどく読みにくいが、

lim[β→∞] (e^(-aβ))(a sin(bβ) + b cos(bβ)) = 0
でいいのだろうか？

|sin(bβ)| ≦ 1, |cos(bβ)| ≦ 1 から
|a sin(bβ) + b cos(bβ)| ≦ |a sin(bβ)| + |b cos(bβ)| = |a| |sin(bβ)| + |b| |cos(bβ)| ≦ |a| + |b|
となるので、
0 ≦ |(e^(-aβ))(a sin(bβ) + b cos(bβ))| = (e^(-aβ))|a sin(bβ) + b cos(bβ)| ≦ (e^(-aβ))(|a| + |b|).

もし、 a > 0 であれば、
lim[β→∞] (e^(-aβ))(|a| + |b|) = 0 だから
ハサミウチの定理により lim[β→∞] (e^(-aβ))(a sin(bβ) + b cos(bβ)) = 0.

a < 0 であれば、与式は成り立たない。

この回答へのお礼

ごめんなさい、画像の式はその通りです。
よくわかりました。
いつもありがとうございます。

お礼日時：2020/04/15 00:35