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数2の指数計算についてです。

(ウ)の赤線部分ですが、どのように分解したのでしょうか?

教えてください。

「数2の指数計算についてです。 (ウ)の赤」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 問題文です。

    「数2の指数計算についてです。 (ウ)の赤」の補足画像1
      補足日時:2020/04/29 16:49
  • うーん・・・

    タマ時雨さんの回答より、

    =(a-b)(a^2+b^2+1)
    =(a-b)(a^2+b^2) + (a-b)

    二段目の右端+(a-b)は、問題文の条件を使うため、あえて括らずに残したということでしょうか?

      補足日時:2020/04/29 17:26
  • masterkotoさん

    最後に教えてください。

    (ア)と(イ)を掛けると、2^x・4^-x-2^-x・4^xが出てきますが(最後に引く部分です)、

    これはどう計算すれば、教えて頂いた答えになりますか?

    底または指数を揃えるにしても、やり方が分からないです。

    教えてください。

      補足日時:2020/04/29 18:07

A 回答 (6件)

よく見てください (い)はかけていませんよ


[あ] と 問題冒頭の条件「2^x-2^-x(=1)」 を掛け算していますよ
この掛け算の結果、2^x・4^-x ー 2^-x・4^xが余分ですよね
これは、4^3=(2²)^3=2^(2x3)=2^6というような指数法則の基本と全く同じに扱えます(この程度の変形は指数法則の基本の「き」ですので
完全にマスターされることをお勧めします・・・テキスト等に必ずのっています)

まず、-x乗のマイナスは逆数という意味で 4^-x=1/(4^x)です
次に 寿司法則 a^(mn)=(a^m)^n=(a^n)^m より
4^x=(2²)^x=2^2x=(2^x)² ですから
4^-x=1/(4^x)=1/(2^x)²です
ゆえに2^x・4^-xは変形後約分して
2^x・4^-x=2^x・{1/(2^x)²}=1/(2^x)です
同様にして 
2^-x・4^x=2^xです
ゆえに余分にできた項は
{1/(2^x)}-2^xです
逆数はマイナス乗だということを用いれば
{1/(2^x)}-2^x=(2^-x)-2^xです

#3では()をつけ忘れましたが
余分にできた項を引き算して余分を帳消しにするということで
(2^x-2^-x)(4^x+4^-x)ー {2^-x -2^x} とする必要があります
結果、(2^x-2^-x)(4^x+4^-x)ー {2^-x -2^x}=(2^x-2^-x)(4^x+4^-x)+{2^x-2^-x } ですよね
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すいません、No4の補足です



zに置き換えた形だと(ウ)を解くのに(ア)は使わないですね

(z - 1/z)^3 = z^3 - (1/z)^3 - 3z^2(1/z) +3z(1/z)^2
= z^3 - (1/z)^3 - 3(z - 1/z)
~~~~~~~~~
ここを求めたい

z^3 - (1/z)^3 = (z - 1/z)^3 + 3(z - 1/z) = 1^3 + 3*1 = 4
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この回答へのお礼

助かりました

ご回答頂き、ありがとうございました。

お礼日時:2020/05/03 22:19

■追加について


質問者の疑問点は尤もだと思います

そもそもこの問題は2^x=zとおけば(zは0でない)

z - 1/z=1が与えられているときに

(ア)z^2+(1/z)^2
(イ)z+1/z
(ウ)z^3-(1/z)^3

を求めよという問題なので、わざわざ模範解答のような展開をしなくてもよいのです。
例えば上の問題なら数1で普通に解くと思うのです。
折角(ア)と(イ)を求めたのだから使いたいということですかね。
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補足について


問題に与えらた数値 2^x-2^-x=1 と
(あ)で求めた 4^x+4^-x=3
を利用したいところですよね
#2で示したように
与式={(2^x)-(2^-x)}{(2^x)²+(2^x)・(2^-x)+(2^-x)²}
={(2^x)-(2^-x)}{4^x+1+4^-x}・・・ (2^-x)=1/(2^x)だから(2^x)・(2^-x)=(2^x)/(2^x)=1
={(2^x)-(2^-x)}{(4^x+4^-x)+1}
にこれらの数値を代入して
{(2^x)-(2^-x)}{(4^x+4^-x)+1}=1x{3+1}=4ですから この思考回路でもとめるなら模範解答のような変形は不要です

模範解答作成者はおそらく
8^x-8^-xを2^x-2^-x=1 と4^x+4^-x=3を使って強引に作り出すことを考えたのでしょうね
(2^x-2^-x)(4^x+4^-x)=2^x・4^x+2^x・4^-x ー 2^-x・4^xー2^-x・4^-x=8^x+(1/2^x)-2^x-8^-x
ですからこの掛け算では、(1/2^x)-2^xが 余分にできたことになります
余分を打ち消すために
(2^x-2^-x)(4^x+4^-x)-(1/2^x)-2^x=(2^x-2^-x)(4^x+4^-x)ー 2^-x -2^x とした
これが筆者の思考回路です
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この回答へのお礼

助かりました

(ア)と(イ)を掛けたんですね!たしかに、そうすると8^x-8^-xという項が出てきますね。それが筆者の意図でしたか...。

お礼日時:2020/04/29 18:01

指数法則から


8^x=(2³)^x=2^3x=(2^x)³
同様に 8^(-x)=(2^-x)³,
また逆順で、(2^x)²=2^2x=(2²)^x=4^x
同様に(2^-x)²=4^-x

ゆえにa³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)を利用して
与式={(2^x)-(2^-x)}{(2^x)²+(2^x)・(2^-x)+(2^-x)²}
={(2^x)-(2^-x)}{4^x+1+4^-x}・・・ (2^-x)=1/(2^x)だから(2^x)・(2^-x)=(2^x)/(2^x)=1
={(2^x)-(2^-x)}{(4^x+4^-x)+1}
={(2^x)-(2^-x)}{4^x+4^-x}+{(2^x)-(2^-x)}>>>{(2^x)-(2^-x)}を分配法則
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2^x=a


2^(-x)=bとおくと
8^x - 8^(-x)
=a^3 - b^3 (8=2*2*2=2^3だから)
=(a-b)(a^2+b^2+ab)

ab=2^x × 2^(-x) = 2^(x-x) =2^0 =1だから

=(a-b)(a^2+b^2+1)
=(a-b)(a^2+b^2) + (a-b)

お気づきでしょうがa^2=4^x, b^2=4^(-x)です
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