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確率変数XとYが,
単位円内 x^2+y^2<1
で一様分布をなすとき、
条件付確率密度関数f(x|y)を求めよ。

という問題をできるだけ細かく回答してほしいのですが、
できれば加えて、自分でやった場合に、
f(x,y)=x^2+y^2
として、確率密度関数であるための条件、
∫(∫f(x,y)dx)dy=1
に代入したのですが、成り立ちません。これは、なぜでしょうか?
よろしくお願いします.

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A 回答 (3件)

初めまして、blue_monkeyと言います。

以下の手順に沿ってコメントさせていただきます。
【1 条件付き確率】
【2 1変数の一様分布】(No1,No2のアドバイスを参照して下さい。)
【3 変形問題1】
【4 変形問題2】
【1】、【2】の内容は、ご存じかもしれませんので、読み捨てていただければ
幸いです。
単位円内の一様分布に対する問題に対する直接コメントではありませんが、【3】、【4】を導出の手がかりにしていただければ幸いです。
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【1 条件付き確率】
確率事象AとBを考える。このとき、事象Bが起きたとき、事象Aの起きる条件付
き確率P(A|B)は、
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)
で与えられます。
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【2 1変数の一様分布】
確率変数xが-a~a(aは正の実数)で一様分布であるとき、確率密度関数p(x)は

∫p(x) dx=1

一様分布なので、p(x)は確率変数xによらず一定の確率となります。この一定値をNと置くと、

N*2*a=1

p(x)=N=1/(2*a)

となります。
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【3 変形問題1】

【1】及び【2】の結果を基に、変形問題1を考えます。
-a≦x≦a
-b≦y≦b
の長方形領域で一様分布するとき、y=y1(-b≦y1≦b)の時の条件付き確率
p(x|y)の導出を考えます。

p(y=y1)=(2*a)/(2*a*2*b)=1/(2*b)

p(x∩y)=1/(2*a*2*b)

よって 、条件付き確率p(x|y=y1)は、

p(x|y)=[1/(2*b)]/[1/(2*a*2*b)]=1/(2*a)
*****************************************
*****************************************
【4 変形問題2】
(-a,0)、(a,0)、(0,b)
の3点を頂点とする三角形領域で一様分布するとき、y=y1(0≦y1≦b)の時の
条件付き確率p(x|y)の導出を考えます。
p(y=y1)=[(b-y1)/b*2*a]/(a*b)

p(x∩y)=1/(a*b)

よって 、条件付き確率p(x|y=y1)は、

p(x|y=y1)=b/[(b-y1)*2*a]

注:y=y1のときx=-a*(b-y1)/b~a*(b-y1)/b


以上

誤記、誤計算、間違いがあったらゴメンナサイ。
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ヒントだけ.


確率密度に誤解がないでしょうか?

f(x|y) は確率変数 Y が y という値をとったという条件の下で,
確率変数 X が x という値をとる確率密度,という意味ですね.

> f(x,y)=x^2+y^2
とすると(f(x|y) のつもり?),y = 0,つまり Y が 0 という値を取ったときに,
X が 0 という値を取る確率密度が 0,
X が 1 という値を取る確率密度が 1,
になってしまいます.
単位円内の一様分布というのですから,どこかおかしいですね.

あ,Zincer さんも同じ意味のこと書かれていますね.
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ど素人の疑問点を1つ


「一様分布」と言うことは、その範囲内では一定と言うことではないのでしょうか?
>f(x,y)=x^2+y^2
>として、...
これって明らかにxとyに依存していませんか?
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