マンガでよめる痔のこと・薬のこと

数学の2次方程式について質問です。範囲でいえば数学IIになります。

2次方程式において異なる二つの正の解が出る条件を求める問題です。

まずは二つの解をαβと置き、解と係数の関係を用いて式をx^2–(α+β)x+αβ=0とします。

第一に、異なる実数解を持つべきなので(判別式)>0。

次に、(-b±√b^2-4ac)/2a(解の公式)における–bの部分が正である必要があると思いました(分母の2aは100%正であり、ルート内の正負以前に–b>0が必要だと思ったためです)。 計算するとα+β>0となりました。

–bの部分が正になるなら-b+√b^2-4acは絶対正になるので一つの解は正になります。一方 –bが正でも-b−√b^2-4acは負になる可能性があります。なのでα+β–√(α+β)^2–4αβ>0となるようにしたところ、α+β–(α−β)>0かα+β–(β−α)>0を計算することとなりβ>0かα>0となりました。

僕の理論だと(判別式)>0、α+β>0、αかβのどちらかが正 という条件になりました。

しかし解答は違いました。そもそもこれとは違うアプローチ方法だったので、なぜこの考え方が違うのかがわかりません。この考えがなぜ違うのかに着目していただけると幸いです。長文失礼しました。回答お待ちしております!!

A 回答 (3件)

なぜあなたの考え方が間違っているのか、それはあなたの考え方が循環論法で、しかも途中で間違えているからです。


よく考えてみてください。問題は、「2次方程式において異なる二つの正の解が出る条件を求める」で、初めにあなたは2つの解をαとβと置きました。この時、異なる二つの正の実数解が存在する条件は、α及びβがいずれも実数で、α>0かつβ>0、α≠βであり、それ以上でもそれ以下でもありません。
そもそも異なる2つの正の解というのに、「αかβのどちらかが正 という条件になりました。」というのは明らかに誤りですよね。
    • good
    • 1

αとβは両方とも正なんだから、α+β>0になるに決まってるし、αかβどちらかが正なのは当たり前、両方正、でしょ?


判別式以外、何も仕事をしてない解答になっちゃってますよね。
それに、
x^2–(α+β)x+αβ=0
を解の公式にぶち込めば、x=α,βになるに決まってるでしょ。落ち着いて計算してみましょう。
で、x=α,βと出たから、それが両方とも正なんですね、α>0且つβ>0って、それ最初の問題に戻っただけじゃんと。
更には、αかβのどちらかが負であっても良いなら、それ、問題自体ぶち壊してますねと。

二次方程式の、グラフ、解の公式、判別式、頭の中で全部繋がってますか?
二次曲線があって、x軸が上に行ったり下に行ったりするときに、異なる2解、重解、虚数解、となるわけです。
それぞれ解の公式を解くと、平方根の中身が、正で、だから±√なんとかで2解に分かれる、平方根の中身が0だから±√0で解が一つになる、重解する、平方根の中身が負だから二つの虚数解、このとき二次曲線はx軸と交わらない、なんてことなんですが。
それぞれが全く別のアプローチで全く別のことをやっているのでは無く、同じことをやっていて見え方が違うだけなのです。

αとβは正なのだから、b=-(α+β)は負で、-bは正ですよね。
判別式D>0であれば解の公式の平方根部は実数になってくれますと。これは必須の条件ですと。
その条件を満たしているなら、-b+√(D)=>0なのは当然。問題は、-b-√(D)(=βなんだけど(α>βなら))が正である、というのが条件なはず。
    • good
    • 0

あなたの考え方のうち、「–bの部分が正である必要がある」が間違っています。



-b+√(b²-4ac)が正になるのは、-bが正の場合はもちろんOKですが、仮に-bが負であっても、√(b²-4ac)が十分に大きければ、それを足した数は正になります。
(結果として、α+β>0は合ってるけどね。そこから先の部分がダメ)

そもそも、「異なる二つの正の解」が欲しいのだから、結論として「αかβのどちらかが正」っていうのはおかしいでしょう。「αかβの両方が正」でないと。
(実はそれ以前の問題として、求める条件をα、βを使って表しても意味ないでしょ。α>0、β>0なんだから。a,b,cを使って表さないと。)

で、正しい考え方は以下のようになります。

------------
二次方程式ax²+bx+c=0が、異なる二つの正の解を持つ条件。

解をα、βとおきます。

まず第1に、異なる実数解を持つから、判別式D=b²-4ac>0

次に、α>0かつβ>0でなければならないから、これは、α+β>0かつαβ>0ということ(下記※参照)。
つまり、解と係数の関係を使って、α+β=-b/a>0かつαβ=c/a>0ということ。

以上により、求める条件は、b²-4ac>0かつ-b/a>0かつc/a>0…答
------------
(別の考え方として、放物線のグラフを使うやり方がある。そっちの方が一般的かも)

※:
α>0かつβ>0のとき、α+β>0かつαβ>0であることは当然。
逆に、α+β>0かつαβ>0のとき、αβ>0より、αとβは同符号(両方ともプラスか、両方ともマイナス)。しかし、α+β>0であるから、そうなるのは、両方ともプラスのとき、つまり、α>0かつβ>0のときだけ。

以上により、「α>0かつβ>0」は「α+β>0かつαβ>0」と同じこと(数学用語で「同値」と言います)。
    • good
    • 2

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング