整式F(x)を x-1 で割ると5余り、x^2+x+1 で割ると -5x+1 余る。F(x)を x^

整式F(x)を x-1 で割ると5余り、x^2+x+1 で割ると -5x+1 余る。F(x)を x^3-1 で割るとき、余りを求めよ。

という問題なのですが、解説の下線部の部分がわかりません。詳しい解説お願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/05/01 11:10

F(x)=(x-1)(x²+x+1)Q(x)+ax²+bx+c

F(x) が x²+x+1 で割り切れるとしたら、F(x)の前半部分が x²+x+1 で割り切れるので、後半部分の
ax²+bx+c も x²+x+1 で割り切れます。よって、ax²+bx+c を x²+x+1 で割ると余りは０です。

F(x) を x²+x+1 で割ったときに割り切れないときは、F(x)の前半部分は x²+x+1 で割り切れるの
で、後半部分のax²+bx+c が x²+x+1 で割り切れないということです。よって、F(x) を x²+x+1 で
割ったときの余りが -5x+1 ということは、ax²+bx+c を x²+x+1 で割ったときの余りが -5x+1 とい
うことになります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/01 11:39

画像２、3行目から

F(x)=(x²+x+1){(x-1)・Q(x)}+ax²+bx+c・・・(A)
ax²+bx+cをx²+x+1で割り算（筆算）すると　商がaであまり(b-a)x+(c-a)ですから
基本公式：(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)　の形に変形すると
ax²+bx+c=(割る数)x(商)＋(あまり)＝(x²+x+1)a+(b-a)x+c-a…(B)　となります
これを(A)に代入して
F(x)=(x²+x+1){(x-1)・Q(x)}+ax²+bx+c
=(x²+x+1){(x-1)・Q(x)}+(x²+x+1)a+(b-a)x+c-a
＝[(x²+x+1){(x-1)・Q(x)}+(x²+x+1)a]+(b-a)x+c-a
=(x²+x+1)[{(x-1)・Q(x)}+a]+(b-a)x+c-a

(割られる数)＝(割る数)x(商)＋(あまり)　と見比べて
割られる数F(x)を、(x²+x+1)で割ると　あまりが(b-a)x+(c-a)になるということですから
ax²+bx+cをx²+x+1で割り算したときのあまり(b-a)x+(c-a)と一致することが分かります
今回、F(x)を、(x²+x+1)で割ると　あまりが-5x+1と問題文にあるので
-5x+1=(b-a)x+(c-a)ということになります