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【数学 積分】

下の線引っ張ったとこ(絶対値の中)がどこから出てきたのか分かりません。教えてください!

「【数学 積分】 下の線引っ張ったとこ(絶」の質問画像

A 回答 (4件)

x=αである接点をP,x=βである接点をQとすると


直線PQの式は y=mx+n
ゆえに、放物線y=ax^2+bx+cとの交点の座標の求め方は
連立方程式にして
mx+n=ax^2+bx+c
⇔ax^2+(bーm)x+c-n=0…①
この交点はx=α、βなのだから①は(x-α)と(x-β)を因数に持っているのは明らかで
ax^2+(bーm)x+c-n=a(x-α)(x-β) …②と因数分解できることになる

さて、S1部分とはy=mx+nと放物線に囲まれた部分だから
その面積は
S1=∫[α~β](mx+n)-(ax^2+bx+c)dx
であるが 積分の中身は先ほど登場した②により
(mx+n)-(ax^2+bx+c)=-(-mx-n)-(ax^2+bx+c)
=-(-mx-n+ax^2+bx+c)
=-{ax^2+(b-m)x+c-n)}
=-a(x-α)(x-β)と変形できる

放物線と直線の上下関係が逆の場合は
積分の中身はa(x-α)(x-β)なので
上下関係が確定しない場合、プラスマイナスは確定しない
そこで絶対値を用いて両ケースを一括で|a(x-α)(x-β)|とすると

S1=∫[α~β]|a(x-α)(x-β)|dx
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2020/05/02 18:30

S1は放物線と直線で囲まれた面積なので



放物線:y=ax^2+bx+c
直線:y=dx+e(なんでもよいです)
とすれば
S1=∫|(ax^2+bx+c)- (dx+e)|dx

絶対値の中身は
1.x^2の係数がa
2.=0と置いた時の解がαとβ(交点のx座標)なので

(ax^2+bx+c)- (dx+e)=a(x-α)(x-β)で表されることになります
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2020/05/02 18:30

定義から.



まあこの場合は積分している範囲で符号が変わらないから被積分関数に絶対値をつけても (被積分関数にはつけずに) 全体に絶対値をつけてもおなじことだけど.
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2020/05/02 18:30

いわゆる「1/6 公式」というやつですね。



↓ 参考
https://mathtrain.jp/frac16formula
https://examist.jp/mathematics/urawaza/menseki/
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2020/05/02 18:30

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