微分方程式についてです。 (2x-y+1)-(x-2y+1)y’=0 という微分方程式で写真の解答の

微分方程式についてです。

(2x-y+1)-(x-2y+1)y’=0
という微分方程式で写真の解答のようにx=u-1/3,y=v+1/3と求めなければならない理由を教えてください。また、v=tuと変換した後の式の求め方もよくわからないので教えてください。

質問者からの補足コメント

• この写真が解答で使われている微分方程式の解き方です。

  
    補足日時：2020/05/03 18:20

• すみません。最初の写真を間違えて載せていました。
  この写真のv=tuに変換した後の式の求め方も教えていただきたいです。

  
    補足日時：2020/05/04 20:00

• (2u-v)/(u-2v) = (2t-1)/(t-2) と
  書き換えられる理由がよくわかりません。理解力が低くて申し訳ないのですが、教えていただきたいです。

    補足日時：2020/05/05 10:55

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/05 12:58

＞ (2u-v)/(u-2v) = (2t-1)/(t-2) と

＞ 書き換えられる理由がよくわかりません。

そこ？
t = u/v と置いたのだから、
(2u-v)/(u-2v) = { (2u-v)/v }/{ (u-2v)/v } = (2u/v - 1)/(u/v - 2) = (2t-1)/(t-2).

この回答へのお礼

詳しく説明していただき本当に助かりました！
ありがとうございました！

お礼日時：2020/05/05 21:18

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/04 20:08

＞ この写真のv=tuに変換した後の式の求め方も教えていただきたいです。

それ、もう書いたよ。No.1 の 4段落目。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/03 20:48

そうしなければいけないって訳でもないんだろうけど、

変数変換で分子分母の定数項が消えれば
(2x-y+1)/(x-2y+1) が同次式になるからね。

そのためには、 2x-y+1 = x-2y+1 = 0 の解となる
x = α, y = β を使って u = x-α, v = y-β と変換
するのが役立つってだけのこと。
2x-y+1 = 0 と 2α-β+1 = 0,
x-2y+1 = 0 と α-2β+1 = 0 をそれぞれ引き算すると、
2(x-α)-(y-β) = (x-α)-2(y-β) = 0 になる。
だから u = x-α, v = y-β と置くと
dy/dx = (2x-y+1)/(x-2y+1) が
dv/du = (2u-v)/(u-2v) になって、
右辺分子分母の定数項が消えてる。

定数項が消えると何がうれしいかっていうと、
それは t = v/u と置いた後の計算と
もとの式で r = y/x と置いてみた場合を比べれば解る。

t = v/u と置くと、v = tu から dv/du = (dt/du)u + t となり、
dv/du = (2u-v)/(u-2v) が
(dt/du)u + t = dv/du = (2u-v)/(u-2v) = (2t-1)/(t-2) と
書き換えられる。この方程式は
∫dt/{ (2t-1)/(t-2) - t } = ∫du/u と変数分離できる。

dv/du = (2u-v)/(u-2v) がこのように処理できることを知っているから
dy/dx = (2x-y+1)/(x-2y+1) から定数項を消したかったのだ。
もとの式のまま似たようなことをしようとして r = y/x と置いても、
(dr/dx)x + r = (2r-1 + 1/x)/(r-2 + 1/x) となって
変数分離形にならない。

...って、これ、写真の解説に書いてあることそのまんまやな。