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数2bの絶対値記号のついた関数の定積分についてです。

(2)の文字を含んだ範囲の、区間の分け方について解説をお願いします。

「数2bの絶対値記号のついた関数の定積分に」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • 範囲に文字が入っている場合の分け方が分からないので、教えて頂けると助かります。

      補足日時:2020/05/04 03:11
  • 先ほどの補足の訂正です。

    文字に範囲が付いている場合の分け方が分からない、の方が正しいです。

      補足日時:2020/05/04 03:13

A 回答 (5件)

∫[0→1] |x²-a²|dx (0<a≦1)


文字に範囲が付いていますが、とりあえず a が正の数なので次のように場合分けできます。

|x²-a²|=|(x+a)(x-a)|
(x+a)(x-a)≧0 のとき、つまり、x≦-a , a≦x のとき、|(x+a)(x-a)|=(x+a)(x-a)
(x+a)(x-a)<0 のとき、つまり、-a<x<a のとき、|(x+a)(x-a)|=-(x+a)(x-a)
y=|x²-a²| のグラフをかきます。x軸との共有点は、(-a,0) , (a,0) です。

グラフがかけたら積分を考えます。積分区間は0から1です。
ここで、文字の範囲を考えて、積分区間と共有点の位置を比べます。
a は1以下なので、(a,0) は積分区間の内側にあるので、次のようになります。

∫[0→1] |x²-a²|dx=∫[0→a] {-(x²-a²)}dx+∫[a→1] (x²-a²)dx
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積分はケースバイケースかなあ。

参考までに。
「数2bの絶対値記号のついた関数の定積分に」の回答画像4
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ケースバイケースですが、考え方の一つは以下のようになります(説明は長いですが、やっていることは単純です)


今回、題意はy=|x²-a²|というグラフの 0~1までの範囲の面積を求めるということと同じです
そこで、このグラフの概形をつかむことが必要です
絶対値なしの y=x²-a² というグラフは 頂点(0,a²)の放物線グラフですよね
aは定数なので、仮にaが表している数字が0なら 頂点は(0,0)ですし
aが表している数字が1なら 頂点は(0,1)・・・
ということになります
このように、aが表している数字がいくつかなのか ということによって(aの違いによって)頂点の位置が異なるというのが今回のグラフの特徴です

これを踏まえて、aが表す数字が0.3くらいだと思って y=x²-a²のグラフを書いてみてください(このとき頂点の座標は(0,0.09)→まあ、ざっくりと、(0,0.1)ぐらいの位置です)
次に、aが表す数字が0.9ぐらいだと思って グラフを書いてみてください
今度は頂点(0,0.81)→だいたい(0,0.8)の位置にスライドしてきますよね(グラフ全体も平行移動してくる)
すると、x軸の0~1の部分との交点の様子はどうなりましたか?

始めa=0.3ぐらいのときは x=0に近いほうでx軸と交わっていたはずですが、
a=0.9では x=1に近いほうでx軸と交わるようになったはずです

このようにaが表す値によってx軸との交点の位置も変わることが分かります
ということで、実際に交点の座標を調べます
x軸はy=0なのでこれを代入して
0=x²-a²
x=±a
今考えようとしているのは x=0~1の範囲なので マイナスを考えるのは不適
ゆえにx=+a
つまり、 グラフとx軸の交点は(a,0)です・・・aが表している数字の想定を変えることによって交点の位置が変わるのも、交点が(a,0)であるため!
今回は題意より(0<a<1)ですから aが表す数字は0から1の間にある数のいずれかであり
したがって、積分して面積を求めようとしている範囲内(x=0~x=1) にグラフ:y=x²-a² とx軸の交点(a,0)があるという状況です

さて、絶対値付きグラフに話を移します
絶対値付きグラフの書き方は まずy=x²-a²のグラフを書きます
次に、x軸より下になった部分はx軸を対象軸としてグラフを折り返します(つまり、x軸より下の部分は、x軸に対して線対称になるようなグラフになります)
なぜこのような書き方になるかということは別の機会に湯づることにして
これで、y=|x²-a²|のグラフの完成です
すると、画像の右隅のようなグラフが描けるはずです!

異なる形状のグラフが2つ現れましたから、ということは面積計算では2つに場合分けして計算が必要になりますよね!

x=aより左側は 本来y=x²-a²であったものを x軸に対して折り返したグラフですから
対象移動の公式(数1かAのテキストで別途確認しておいてください)により
y=-(x²-a²)=-x²+a² となります
ゆえに このグラフとy軸とx軸に囲まれた部分の面積は、グラフとx軸の交点がx=aであることを踏まえて、
面積=∫[0~a]-(x²-a²)dx として求められます

一方残りの部分は、x軸と、x=1という直線(縦ライン)と、y=x²-a²に囲まれた部分ですから x軸との交点を踏まえて、
面積=∫[a~1]x²-a²dx として求められます

ゆえにグラフの分割を考慮して、画像赤マーカーのような場合分けが必要なのです
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[解答] の囲みのすぐ上の行にかいてあるじゃん。


あれを使って、一旦は
|x²-a²| = { x²-a²  (x²-a²≧0 のとき)
   = { -(x²-a²) (x²-a²≦0 のとき) となる。
積分区間が 0≦x≦1,
a の範囲が 0≦a≦1 であることから、
x²-a²≧0 は a≦x≦1,
x²-a²≦0 は 0≦x≦a に翻訳される。
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絶対値の中身が正か負かでわける.

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