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A,Bを自然数として、
 1/A+1/B
の最大を求める、という場合、A=1、B=2 のときの3/2が答えですが、どのように証明したらいいのでしょうか?

A 回答 (4件)

1/A+1/B は A についても B についても単調減少だから、


A と B が相異なるなら、自然数を小さいほうから 2 個入れる。
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変数が2個のときは片方を固定して考えるというのはよくやることです



まずは、y=1/x+1/B ただしBは定数 とおいて
yを微分して 増減表を書き 
自然数ではx=1のとき最大値 y=1+1/Bと求めるか
反比例グラフy=1/xの xを自然数に限定した場合の最大値に言及して(x=1で max:y=1)
これをy方向に1/Bだけ平行移動した y=1+1/Bでは x=1で max:y=1+1/B とすれば良さそうです

次に、Bの処理です
先ほどの反比例グラフの例で、 y=1/x をy方向に+1/Bだけスライド(平行移動)したものが y=1/x+1/Bで 
その最大値はy=1+1/Bだととらえておくのが分かりやすいかもしれません
このスライド幅+1/Bをどれだけにすればyは最大となるかを考えるのです
いうまでもなく スライド幅+1/Bが大きければ大きいほど y=1+1/Bも大きくなりますから
1/Bの最大値を求めればよいことになります
f(x)=1/xとおくなどして 1以外の自然数xでf(x)を最大にさせるものを調べる などと言う方法が考えられると思います
結論として B=2がえられるはず
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分数は分子が同じ(または一定)なら分母が最小の時に最大になります。



通分してみましょう。
1/A+1/B=(A+B)/AB ですから、分母のA×B が最小になるには最小の自然数から順に入れるしかありません。
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A=B=1 のとき 2, が最大じゃないの?

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この回答へのお礼

すみません。AとBは「相異なる」が抜けてました。

お礼日時:2020/05/04 03:02

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