当たり前すぎる気もしますが （数学の問題）

A,Bを自然数として、
　1/A+1/B
の最大を求める、という場合、A=1、B=2 のときの3/2が答えですが、どのように証明したらいいのでしょうか？

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/04 11:37

変数が2個のときは片方を固定して考えるというのはよくやることです

まずは、y=1/x+1/B ただしBは定数　とおいて
ｙを微分して　増減表を書き　
自然数ではx=1のとき最大値　y=1+1/Bと求めるか
反比例グラフy=1/xの　xを自然数に限定した場合の最大値に言及して(x=1で max:y=1)
これをy方向に1/Bだけ平行移動した　y=１＋1/Bでは　x=1で max:y=1＋1/B とすれば良さそうです

次に、Bの処理です
先ほどの反比例グラフの例で、　y=1/x をｙ方向に＋1/Bだけスライド（平行移動）したものが　y=1/x+1/Bで　
その最大値はy=1+1/Bだととらえておくのが分かりやすいかもしれません
このスライド幅＋1/Bをどれだけにすればyは最大となるかを考えるのです
いうまでもなく　スライド幅+1/Bが大きければ大きいほど　y=1+1/Bも大きくなりますから
1/Bの最大値を求めればよいことになります
f(x)=1/xとおくなどして　1以外の自然数xでf(x)を最大にさせるものを調べる　などと言う方法が考えられると思います
結論として　B=2がえられるはず

No.3 回答者： tent-m28 回答日時： 2020/05/04 07:12

分数は分子が同じ（または一定）なら分母が最小の時に最大になります。

通分してみましょう。
1/A+1/B＝(A+B)/AB　ですから、分母のA×B が最小になるには最小の自然数から順に入れるしかありません。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/04 03:32

1/A+1/B は A についても B についても単調減少だから、

A と B が相異なるなら、自然数を小さいほうから 2 個入れる。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/05/04 02:51

A=B=1 のとき 2, が最大じゃないの?

この回答へのお礼

すみません。AとBは「相異なる」が抜けてました。

お礼日時：2020/05/04 03:02