(2)の最初にq 1+1/a＞1と言ってるのに、最小値の場合分けの時に、0＜から範囲を取るのは何故で

(2)の最初にq
1+1/a＞1と言ってるのに、最小値の場合分けの時に、0＜から範囲を取るのは何故ですか？？

また、1＜からとると、1＜1+1/aは0＜1となるのですが、これはaの範囲に関係ないので、無視して、1+1/a＜2の範囲だけでもいいんですか？

No.2 回答者： windwald 回答日時： 2020/05/06 12:17

> 0＜から範囲を取る

> 1＜からとると
一般にはこのような言い方をしませんので、独自の言い方ではなく誰にも伝わる言い方にするほうが良いでしょう。

>無視して、1+1/a＜2の範囲だけでもいいんですか？
だめです。無視したのでは論証に穴がある状態です。きちんと示さなければなりません。

今回の問題は、y=f(x) のグラフの定義域 [ 0, 2 ] における最小値を求めることです。
問題文より y=f(x) は下に凸つまり a > 0、(1)よりy=f(x)の頂点は ( (a+1)/a, -(a^2+a+1)/a ) の2つを使います。
頂点の位置が定義域に収まっていれば最小値は頂点におけるy座標の値が最小値です。

ということは、頂点の位置が [ 0, 2 ] よりも小さい値のとき、収まっているとき、大きいとき、の3つに場合分けする必要があります。
ですので、 (A) (a+1)/a < 0 のとき、(B) 0 ≦ (a+1)a ≦ 2 のとき、(C) 2 < (a+1)/a のときの3つの場合分けです。
解説では、(2)の2行目で (a+1)a＝1+1/a ＞ 1 を示していますので、(A)の場合は起こりえないと暗に示しています。
そこで(B)の場合(解説の(i))、(C)の場合(解説の(ii))だけ記述したのですね。

無視をするのと、論述してあり得ないことであると示すとのは異なります。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/06 10:33

実際 a > 0 の範囲では (a+1)/a > 1 にしかならないので、

0 < (a+1)/a ≦ 2 と １ < (a+1)/a ≦ 2 と (a+1)/a ≦ 2 は
同じ条件です。どれを使って場合分けしてもよいのですが、
筆者としては、軸 (a+1)/a が定義域 [0,2] に含まれるかどうか
に着目して場合分けしたのだということを解りやすくするために
そのような書き方にしたのでしょう。
(a+1)/a ≦ 0 の場合が起こらないことも、一言書いとけばよかったのにね。