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五番の問題です。 
なぜこの問題は背理法をつかわないといけないのですか?
対偶使ってもできると思ったのですが間違いでしょうか。

背理法を使った解き方もできれば教えて欲しいです。
よろしくお願いします

「五番の問題です。 なぜこの問題は背理法を」の質問画像

A 回答 (1件)

対偶を使った解き方をすると、どういうことになるか判る?


以下のことを示すことになるけど、示せる?

対偶である「a≠c又はb≠d ならば a+b√5≠c+d√5」を示す。

この方が、元の命題を示すよりもよっぽど大変(と言うか、どうすればいいか全く分からない)。
あなたは、どうやってこれを示そうとしているの?

だから、この問題は、普通はこうやる(d-b≠0を仮定して矛盾を示す、背理法)。

-----
a+b√5=c+d√5を変形して、
a-c=d√5-b√5
a-c=(d-b)√5 ※
となる。
ここで、もしd-b≠0とすると、両辺をd-bで割ることができて、
(a-c)/(d-b)=√5
となる。
このとき、左辺は有理数(a,b,c,dが有理数だから)であり、右辺は無理数だから矛盾。
したがって、d-b≠0ではなく、d-b=0であることが判る。よって、b=d
このとき、※の右辺=0となるから、左辺=a-c=0ということになる。よって、a=c
以上により示された。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
理解できました

お礼日時:2020/05/11 10:26

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