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斜三角柱を分割(分解)合同して、三角柱になることため、斜三角柱の体積の求め方が、底面積×高さになるのはどうしてですか?

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A 回答 (2件)

あいまいな説明かもしれませんが・・・


まず,普通の三角柱(但し,底面と高さは,求める斜三角柱と合同,同じ)を考えます.
それを柱方向に2等分して,それぞれの底面を
求める,斜三角柱に合わせるように移動します.
このときは,三角柱を分割・移動しただけなので,体積は変わりませんよね.

次に
(1)三角柱になっている,部分を分割する.
(2)分割した三角柱を移動して,求める斜三角柱に近づける.

このプロセスでも体積は分割,移動するだけなので,変化しません.この(1),(2)のプロセスを続けていけば,最終的には,求める斜三角柱になります.このプロセスは,体積を変化させないので,求める体積は,元の三角柱と同じで,底面積×高さになります.

できれば,図を描いて考えると分かりやすいと思います.
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斜めの三角柱を分解するということは…多分、縦でなく斜めに傾いている部分が無視出来るぐらいに、柱を横に薄切り(断面が三角になるほう)にしていって、それを垂直に重ねていく…、ということですよね。



イメージで言えば、スーパーで買ってきた斜めに傾いている厚切りハムを、包丁でどんどん薄く切っていくと(断面は丸のかたちです)、その薄切りになったハムは、まないたに垂直に並べるか重ねることができるようになります。その斜めのハムと同じことが、この斜めの三角柱にも当てはまっています。

この説明を最後の最後まで細かく証明するには、積分法という方法を使わないと証明できないのですが(高校はもう卒業されてますか?高校の数3の授業でやります)、私は、こう考えてます…。

質問されたことの答えになってないのですが、その解説文で言ってあることは、おそらく「斜めのハムが、薄く切られることによって、縦のハムになる」ということとだと思います。

ご参考になれば幸いです(>_<)。
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よろしくお願いします。

Aベストアンサー

斜角柱(しゃかくちゅう),斜円柱(しゃえんちゅう)と呼びます。
同様に,斜角錐,斜円錐もあります。
(ただし,斜角錐は底面が正多角形の場合に限ると思いますが)

これに対し,側面が底面と垂直な角柱・円柱をそれぞれ,直角柱・直円柱といいます。
したがって,その算数のテキストの表現は本来は不正確ということになりますが,小学校では斜角柱・斜円柱は出て来ないので,便宜的に「直」を省いて単に「角柱」「円柱」と読んでいます。

教科書出版の啓林館のサイトにこんな説明がありましたので,そちらもご参考までにどうぞ。
「角柱と円柱」
http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/WebHelp/html/page/61/61_02.htm

参考URL:http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/WebHelp/html/page/61/61_02.htm

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Aベストアンサー

>昔の頭がいいかたの発見によってそれが法則じみた公式になったのでしょうか?
頭がいいとは関係なく、日頃の観察と偶然の発見から出てきた公式でしょう。
四角柱の容器に水をいれて傾けた時の各辺の液面までの高さa,b,c,dの平均やaとcの平均、bとdの平均が、四角柱を垂直に立てた時の高さhになっていることに気がついたのでしょう。
式で書けば
(a+b+c+d)/4=h
(a+c)/2=(b+d)/2=h
この時,切頭四角柱の体積Vは、底面積をSとすれば
V=S(a+b+c+d)/4=Sh
この公式は小中学生でも使える簡単な公式です。

しかし、この証明は重積分を用いますので、重積分を習ってからでしょう。高校あるいは大学以上で重積分を習った後でないと無理でしょう。

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 f(x,y)=d +(a-d)x/m -(a-b)y/n -(a-b+c-d)xy/(mn), 0≦x≦m,0≦y≦n)
但し、(a+c)/2=(b+d)/2=h, 底面の面積S=mn

接頭四角柱の体積Vは
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  =∫[0,m]dx∫[0,n] {d +(a-d)x/m -(a-b)y/n -(a-b+c-d)xy/(mn)}dy
  =(3d-c+3b-a)*mn/4
b+d=a+cの関係より
 V=(a+b+c+d)mn/4
  =S(a+b+c+d)/4
  =Sh
となります。
[証明終り]

>昔の頭がいいかたの発見によってそれが法則じみた公式になったのでしょうか?
頭がいいとは関係なく、日頃の観察と偶然の発見から出てきた公式でしょう。
四角柱の容器に水をいれて傾けた時の各辺の液面までの高さa,b,c,dの平均やaとcの平均、bとdの平均が、四角柱を垂直に立てた時の高さhになっていることに気がついたのでしょう。
式で書けば
(a+b+c+d)/4=h
(a+c)/2=(b+d)/2=h
この時,切頭四角柱の体積Vは、底面積をSとすれば
V=S(a+b+c+d)/4=Sh
この公式は小中学生でも使える簡単な公式です。

しかし、こ...続きを読む

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誰か教えてください。

Aベストアンサー

底面積×高さ=半径×半径×π(または3.14)×高さ  です。


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