No.1ベストアンサー
- 回答日時:
糸の張力をTとおく。
力の釣り合いを考えて、水平方向:(1/4πε0)・Q²/(2a・sinθ)²=Tsinθ
垂直方向:mg=Tcosθ
上式からTを消去すると、16πε0mga²sin³θ=Q²cosθを得る。
Q=4a√(πε0mgsin³θ/cosθ)に、a=0.05[m]、π≒3.14、ε0≒8.85×10^(−12)[A²·s²/N·m²]、m=1×10^(-3)[kg]、g=9.8[m/s²]、θ=10°、45°を代入して(パソコン又は関数電卓で)計算すると、
それぞれ、7.6×10^(-9)[C]、7.4×10^(-8)[C]を得る。
No.3
- 回答日時:
6.「重力」と「クーロン力(くーろんりょく)=静電力」のつり合いの問題です。
重力は鉛直下向きでその大きさは
F1 = mg ①
クーロン力は、同種の電荷なら「反発力」で、向きは水平方向の互いに退け合う方向、その大きさは物体間の距離を r、クーロン定数を k として
F2 = kQQ/r^2 = kQ^2 /r^2
ここで、電磁気学の常識として
k = 1/(4パイε0) (ε0:真空中の誘電率)
なので
F2 = Q^2 /(4パイε0r^2) ②
この2つが「角度 θ」でつり合うのだから
tanθ = F2/F1
という関係です。
つまり
tanθ = sinθ/cosθ = F2/F1
→ F1*sinθ = F2*cosθ ③
また、②の r とは
r = 2a*sinθ
ですから、これを使って②を書き換えれば
F2 = Q^2 /[4パイε0*4a^2*sin^2(θ)]
= Q^2 /[16パイε0*a^2*sin^2(θ)] ④
①、③、④を使えば
mg*sinθ = Q^2 *cosθ/[16パイε0*a^2*sin^2(θ)]
分母を払って
16パイε0*mg*a^2*sin^3(θ) = Q^2 *cosθ ⑤
7.これは単位を合わせて⑤に数値を代入するだけ。でも、ちょっと単位が複雑。
②式のところで書いたように、クーロン定数
1/(4パイε0) = k = 9.0 * 10^9 [N⋅m^2/C^2]
の方が分かりやすいですね。これから
4パイε0 = 1/k = 1.11* 10^(-10) [C^2/N⋅m^2] ⑥
(ε0 の値は、これを 4パイ で割ったもの。さらには電流の単位 [A] = [C/s] から [C = A*s] を使って表わされることが多い)
mg は重力なので、m=1[g] = 1*10^(-3)[kg]、g=9.8[m/s^2] とすれば 9.8*10^(-3) [N] ⑦
a=50[mm] = 5.0*10^(-2)[m] より
a^2 = 2.5*10^(-3)[m^2] ⑧
⑥⑦⑧をかけ合わせれば、⑤の右辺に対応した [C^2] の数値が計算できることがわかります。
(a) θ = 10° のとき、関数電卓を使って
sin(10°) ≒ 0.173648
cos(10°) ≒ 0.984808
であることから、⑤は
(4/k)mg*a^2*sin^3(θ) = Q^2 *cosθ
→ 4*1.11* 10^(-10) [C^2/N⋅m^2] * 9.8*10^(-3) [N] * 2.5*10^(-3)[m^2] * 0.173648^3 = Q^2 * 0.984808
→ Q^2 ≒ 5.7837 * 10^(-17) [C^2]
→ Q ≒ 7.6 * 10^(-9) [C]
(b) θ = 45° のとき、
sin(45°) = 1/√2
cos(45°) = 1/√2
であることから、⑤は
(4/k)mg*a^2*sin^3(θ) = Q^2 *cosθ
→ 4*1.11* 10^(-10) [C^2/N⋅m^2] * 9.8*10^(-3) [N] * 2.5*10^(-3)[m^2] * (1/√2)^3 = Q^2 * (1/√2)
→ 4*1.11* 10^(-10) [C^2/N⋅m^2] * 9.8*10^(-3) [N] * 2.5*10^(-3)[m^2] * (1/√2)^2 = Q^2
→ Q^2 = 5.439 * 10^(-15) [C^2]
→ Q ≒ 7.4 * 10^(-8) [C]
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