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二項間漸化式
①式:a(n+1)=(-2)×a(n)+5×(-2)^(n-1)
を解く際に、
②式:g(n+1)=(-2)×g(n)+5×(-2)^(n-1)
を満たすようなg(n)を考えると、
①式-②式より、
a(n+1)-g(n+1)=(-2)×{a(n)-g(n)}
なので、
a(n)={a(1)-g(1)}×(-2)^(n-1)+g(n)
となる。
ここで、g(n)=A×(-2)^(n-1)とおくと、
②式⇔A×(-2)^(n)=(-2)×A×(-2)^(n-1)+5×(-2)^(n-1)
⇔A×(-2)×(-2)^(n-1)=(-2)×A×(-2)^(n-1)+5×(-2)^(n-1)
⇔5×(-2)^(n-1)=0
となってしまい、恒等式に持ち込めず、Aを求めることが出来ません。

どこで間違っているのでしょうか??
ご教示宜しくお願い致します。

gooドクター

A 回答 (5件)

g(n) が a(n) と同じだと言っている人がいるが、それは違う。


漸化式を満たす特定の g(n) を見つけると
数列 a(n)-g(n) が満たす漸化式が原式より簡単なことで
全ての a(n) が見つかるという考え方は、悪くない。 というより、
非斉次線型漸化式の解き方としてオーソドックスなものだ。
a(n) が一般解、g(n) が特殊解というわけだ。

質問文中の解法の難点は、 No.2 のいうとおり、
g(n) = A(-2)^(n-1) という見積もりが当たってなかったことにある。
そこで食い下がって g(n) = (An+B)(-2)^(n-1) を試してみていれば、
正解にたどり着くことができたのにね。

特殊解とか十分条件を1個見つけようという戦略では、
山勘力と根性が大切だよって話。
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この回答へのお礼

解決しました

回答ありがとうございます。
山勘力ですか…、了解しました。
経験を積んでみます。

お礼日時:2020/05/16 17:40

そんなときに定数変化法.

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あなたが持ってきたg(n)は、a(n)と同じ漸化式を満たしている訳だから、g(n)=a(n)なので、



 a(n+1)-g(n+1)=(-2)×{a(n)-g(n)}

という式は、0=0という(当たり前で無意味な)式になる。
したがって、a(n)-g(n)が等比数列ということにはならない。
(a(n)-g(n)=0だから、0=(-2)×0ということ)(→下記※※)


この形の漸化式の場合は、両辺を(-2)^(n+1)で割ることを考える。すると、

 左辺 = a(n+1) / (-2)^(n+1)
 右辺 = a(n) / (-2)^n + (5/4) ※

になるから、a(n) / (-2)^n = b(n)とでも置くと、

 b(n+1)=b(n)+(5/4)

となって、b(n)は等差数列だから、すぐにb(n)が判り、そして、すぐにa(n)が判る。


※:
5×(-2)^(n-1) / (-2)^(n+1) = 5×(-2)^{(n-1)-(n+1)} = 5×(-2)^(-2) = 5/4


※※:
全く別の例だが、あなたのやっていることは、
  3×0=2×0
の両辺を0で割って、
  3=2
とやっているようなもの。
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「ここで、g(n)=A×(-2)^(n-1)とおくと、」としていますが、単に、置けないからです。

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②式は①の数列名を変えただけなので無意味だよ。


この漸化式の解き方はこんな感じ。

a[n+1]=(-2)×a[n] + 5×(-2)^(n-1)

両辺を(-2)^nで割ると、
a[n+1]/(-2)^n=((-2)×a[n])/(-2)^n + (5×(-2)^(n-1))/(-2)^n
a[n+1]/(-2)^n=a[n]/(-2)^(n-1) - (5/2)

b[n]=a[n]/(-2)^(n-1)とすると、
b[n+1]=b[n] - (5/2)

となり、公差-5/2の等差数列となる。

b[n]=b[1]+(n-1)×(-5/2)
a[n]/(-2)^(n-1)=a[1]/(-2)^(1-1) + 5(n-1)/(-2)
a[n]/(-2)^(n-1)=a[1] + 5(n-1)×(-2)^(-1)
a[n]=a[1]×(-2)^(n-1) + 5(n-1)×(-2)^(n-2)

初項a[1]は質問に示されていないので、ここまで。
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