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問題です:
確率 p (0 < p < 1) で表の出るコインを用いて 1 人のプレイヤーが行うゲームを考える.プレイヤーは持ち点を 0 としてゲームを開始し,コイントスを行って表が出れば持ち点が 1 増 え,裏が出れば持ち点が 1 減る試行(ラウンドと呼ぶ)を繰り返す.持ち点が 2 になればプレイヤーの勝利でゲームが終了し,持ち点が 2 になればプレイヤーの敗北でゲームが終了 する.以下の各問に答えよ.

(1) 各 k = 1, 2, 3 について,丁度 2k ラウンドでプレイヤーが勝利する確率,および丁度 2k ラウンドでプレイヤーが敗北する確率をそれぞれ求めよ.

(2) このゲームでプレイヤーが勝利する確率を求めよ.

(3) このゲームを 100 回繰り返すとき,プレイヤーが勝利する回数の期待値と分散を求めよ.

(4) p = 0.6 とする.このゲームを 100 回繰り返すとき,プレイヤーが勝利する回数が 50 未満の確率は 1/10 より大きいか否か理由と共に答えよ

どうやって解くのか分からないんです。。。
どなたかご教授いただければ幸いです
よろしければ途中式もお願いします。
よろしくお願いします

質問者からの補足コメント

  • ごめんなさい、正しいのは「持ち点が 2 になればプレイヤーの勝利でゲームが終了し,持ち点が -2 になればプレイヤーの敗北でゲームが終了する」です

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2020/05/16 00:55
  • 私は (1)の場合が幾何分布だと思うから、勝利と敗北の確率は同じ(1/4)(3/4)^(2k-1)だと思います、でもこの問題は実際に幾何分布に従うかどうか分からないんです。
    もし幾何分布ではないなら、どの分布に従うべきでしょか?
    よろしくお願いいたします

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2020/05/16 15:47

A 回答 (3件)

第 k ラウンドで持ち点が x である確率を q(k,x) と置くと、


問題の状況設定は
 q(k+1,-2) = q(k,-1)・(1-p),
 q(k+1,-1) = q(k,-2)・p + q(k,0)・(1-p),
 q(k+1,0) = q(k,-1)・p + q(k,1)・(1-p),
 q(k+1,1) = q(k,0)・p + q(k,2)・(1-p),
 q(k+1,2) = q(k,1)・p.
 q(0,0) = 1,
 q(0,2) = q(0,1) = q(0,-1) = q(0,-2) = 0.
と書ける。

この q(k,x) を第 x+3 成分に持つベクトルを v(k) と置くと、
行列 A を用いて
 v(k+1) = A(k),
 v(0) = (0,0,1,0,0)^T.
と書ける。
A =
  0  1-p 0  0  0
  p  0  1-p 0  0
  0  p  0  1-p 0
  0  0  p  0  1-p
  0  0  0  p  0
である。
固有方程式が 5 次式になってしまうが、やってみると
意外と簡単に λ( λ^2 - (p-p^2) )( λ^2 - 3(p-p^2) ) = 0
と因数分解できてしまい、全て実数解になっている。

これを用いて A を対角化すれば
q(k,x) を陽に書き下してしまうことができるので、
あとは
(1) q(2k,2) と q(2k,-2)
(2) Σ[k=1→∞] q(k,2) この答えを r と置く。
(3) Σ[n=1→100] n・(100Cn){ r^n }{ (1-r)^(100-n) }
(4) p=0.6 のときの Σ[n=1→49] (100Cn){ r^n }{ (1-r)^(100-n) }
を計算する。
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それなら問題として理解できる.



とはいえ, (1) くらいは自分でやってもいいんじゃない?
この回答への補足あり
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問題がおかしい.



「持ち点が 2 になればプレイヤーの勝利でゲームが終了し,持ち点が 2 になればプレイヤーの敗北でゲームが終了 する」?
この回答への補足あり
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