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次の逆ラプラス変換を教えて下さい
(s+1)/(s^3+6s^2+9s)

A 回答 (3件)

逆ラプラス変換は、定義に沿って積分を計算することも可能ではありますが、


もともとが微分方程式を簡単に解くための手段であるため、代表的な関数の
ラプラス変換を表にしておいて、それを逆引きするのが通常です。
逆ラプラス変換表→ http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-4Rapurasuhyou …
日常よく見かける微分方程式から出てくるラプラス変換は分数式であることが多く、
その逆ラプラス変換には、部分分数分解が有用です。 やってみましょう。

(s+1)/(s^3+6s^2+9s) = (1/9)/s + (-1/9)/(s+3)) + (2/3)/(s+3)^2.
これを逆ラプラス変換すると、
(L^-1)[ (s+1)/(s^3+6s^2+9s) ] = (L^-1)[ (1/9)/s + (-1/9)/(s+3)) + (2/3)/(s+3)^2 ]
= (1/9) (L^-1)[ 1/s ] + (-1/9) (L^-1)[ 1/(s+3)) ] + (2/3) (L^-1)[ 1/(s+3)^2 ]
= (1/9) (L^-1)[ 1/s ] + (-1/9)(e^(-3t)) (L^-1)[ 1/s ] + (2/3)(e^(-3t)) (L^-1)[ 1/s^2 ]
= (1/9)・1 + (-1/9) (e^(-3t))・1 + (2/3) (e^(-3t))・t
= (1/9)( 1 + (-1 + 6t) e^(-3t) ).
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この回答へのお礼

途中式までありがとうございます!

お礼日時:2020/05/25 20:36

式を


A/s+B/(s+3)^2+C/(s+3) ①
A、B、Cは定数
の形に直してラプラス変換表で項毎に変換するだけです。
この変換は部分分数展開ですが
①の形になるのは
ベビサイド展開定理から判ります。

①を通分して、分子を元の式と比べれば、A、B、Cを求めるのは
容易です。
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答は、(1/9) e^(-3t) {e^(3t)+6t-1}になる。

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