順列の問題

こちらのサイトをみて順列を勉強していたのですが、すべての並び方の8の階乗から、A.B.Cの順序の3の階乗を、重複しているため割るということですが、それだと正しい並び方のA.B.Cもなくやることになりませんか？
頭がこんがらがっています。

質問者からの補足コメント

• 皆さまありがとうございます。
  理解することが出来ました。m(_ _)m

    補足日時：2020/05/19 15:58

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/05/17 17:06

例えば　8!の中には

ABCDEFGHや
BCADEFGH
BACDEFGHなどを含んでいますが
これらは一番初めの並びだけが数えるべきもので　残りは数に入れてはいけないものですよね
そして右側5か所がDEFGHであるものは、
左側3か所の並びが３！だけあるのでこれと同じ６通りあります
このうちAが一番左　Cが一番右というのは冒頭に書いた1通りだけです
さて、この6通り÷6＝１通りとやると　これは　
ABCDEFGHや
BCADEFGH
BACDEFGHなど6通りを1組とみなした計算を意味します
つまり○○○DEFGHは1通りあるという計算です

同様に
HABCDEFGや
HBCADEFG
HBACDEFGなど　Hから始まってDEFGで終わるものは6通りありますが

ABCDEFGH
BCADEFGH
BACDEFGH
・
・
・
HABCDEFG
HBCADEFG
HBACDEFG
・
・
・
など12通りについて÷6をすると
これは「右側5か所がDEFGH」または「Hから始まってDEFGで終わるもの」が合計2組ということを求める計算です
つまり○○○DEFGHとなる組が1組、H○○○DEFGとなる組が1組　
合計2組。この組の数を求める計算です
ゆえにこれを拡張して、8!/3!とは　すべての順列について
A,B,Cを○、○、○で置き換えたときに存在する組の数を意味しています！（○○○DEFGHやH○○○DEFGやG○D○H○EFなどの組の総数！）


それぞれの組の丸に　左から順にA,B,Cをあてはめていけば該当の並びとなるので
把握するべき「Aが一番左でCが一番右」という並びの総数は　8!/3!組と同じだけ存在すると考えることができるのです

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2020/05/19 15:57

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/05/17 18:52

別の簡単な例を考えます。

〇、〇、Aの３つを並べることを考えます。
3! と計算すると６通りになりますが、実際は、〇〇A、〇A〇、A〇〇の３通りです。
〇₁、〇₂、Aの３つを並べるならば、○₁○₂A、○₂○₁A、○₁A○₂、○₂A○₁、A○₁○₂、A○₂○₁の６通
りですが、実際は、○₁、○₂の区別はないので、○₁○₂Aと○₂○₁Aは同じものを重複して数えているこ
とになります。よって、６÷２＝３（通り）となります。

〇、○、○、Aの４つを並べる場合は、とりあえず、4!=24 （通り）
3!=6 重複があるので、24÷６＝４（通り）となります。
○○○A、○○A○、○A○○、A○○○の４通りです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2020/05/19 15:57

No.1 回答者： springside 回答日時： 2020/05/17 16:57

なりません。

「重複しているため、それをなくす目的で、割り算する」ということは、「引き算」ではないので、
例えば、ABCの並び順である

ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA

の6種類の順列を含む場合の数を6（これは3!）で「割る」ことによって、「6種類→1種類」にすることになるから。（6÷6=1です。）
（6種類→0種類だと、正しい並び方がなくなってしまうが、そうではない）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！

お礼日時：2020/05/19 15:58